Rownanie zespolone.

[lenkaja]

Rozwiaz rownanie:
\(\displaystyle{ \left| e ^{z} \right|=e ^{\left| z\right| }}\)

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ z=a+bi}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ \left| e^{a+bi} \right| = e^{|z|} \\
\left| e^{a} \cdot e^{bi} \right| = e^{|z|} \\
e^{a} \left| e^{bi} \right| = e^{|z|} \\
\left| e^{ \frac{bi \cdot \pi}{\pi} } \right| = e^{|z|-a} \\
\left| \left[ e^{\pi i} }\right]^{ \frac{b}{\pi} } \right| = e^{|z|-a}}\)

Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ e^{\pi i} = -1}\)
Dalej juz łatwe

[lenkaja]

Ok, to rozumiem, ale co dalej?

[Inkwizytor]

Skorzystaj ze wskazówki którą na końcu napisałem

[lenkaja]

Ja wiem, ze z tej wskazowki mam skorzystac. Czyli mamy:
\(\displaystyle{ \left| \left( -1\right) ^{ \frac{b}{ \pi } } \right| =e ^{\left| z\right|-a }}\)
\(\displaystyle{ \left| \left( -1\right) } \right|^{ \frac{b}{ \pi }} =e ^{\left| z\right|-a }}\)
\(\displaystyle{ 1=e ^{\left| z\right|-a }}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|-a=2k \pi i,k \in Z}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2}+b ^{2} }=a+2k \pi i}\)
I co dalej?

[Inkwizytor]

Trochę prościej
\(\displaystyle{ 1=e ^{\left| z\right|-a }}\)
Zlogarytmuj obustronnie