równanie i zamiana na ułamki proste

[grzywatuch]

mam 2 pytania odnosnie własnie 2 zadan ;p:

zadanie pierwsze: (rozwiąż równanie):

\(\displaystyle{ Re (1 + \sqrt{3} i) x ^{2} + Im (1+ \sqrt{3} i)x - i = 0}\)

nie wiem jak to rozwiaywać czy po prostu sprowadzic do takiego równania:
\(\displaystyle{ x ^{2} + \sqrt{3}x - i = 0}\) i obliczać czy te cuei realne i urojone opuszczać w jakis inny sposób??


i drugie: (rozłóż na ułamki proste)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x ^{2} +4}}\), ja rozłożyłem mianownik i wyszlo mi: \(\displaystyle{ (x-2i)(x+2i)}\)

no i wychodzi:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(x-2i)(x+2i)}= \frac{1}{x-2i} \frac{1}{x+2i}}\), no ale ja tu za bardzo nie widze ułamków prostych ale co dalej można z tym zrobic??

[rubik1990]

W pierwszym liczysz ze wzorów na deltę tka jak dla rzeczywistych. W drugim musisz przedstawić to wyrażenie w postaci: \(\displaystyle{ \frac{1}{(x-2i)(x+2i)}=\frac{A}{x-2i}+\frac{B}{x+2i}}\) gdzie \(\displaystyle{ A,B\in \mathbb{C}}\) tzn. musisz znaleźć takie stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) by zachodziła równość

[grzywatuch]

Ale z tego co mi sie wydaje to \(\displaystyle{ A \wedge B}\) kazdy moze sobie wymysleć jakie chce:
stosując tą równość \(\displaystyle{ \frac{1}{(x-2i)(x+2i)}=\frac{A}{x-2i}+\frac{B}{x+2i}}\)
no np ja wymyslilem takie (proste przekształcenie):

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{2(x+2i)}}\)

\(\displaystyle{ B= \frac{1}{2(x-2i)}}\)

ale moze też byc np:

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{4(x+2i)}}\)

\(\displaystyle{ B= \frac{3}{4(x-2i)}}\)

i to nas do niczego nie doprowadza chyba....


Albo wielokrotność mianownika za \(\displaystyle{ A \wedge B}\) podstawiac wtedy sie wszystko poskraca, ale tych liczb bedzie tez nieskończenie wiele, np za \(\displaystyle{ A \vee B}\) podstawmy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) mianownika to z prawej wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\) a zeby lewa sie równała to \(\displaystyle{ (x-2i)(x+2i)= 1}\) czyli \(\displaystyle{ x ^{2} +4=1 \Rightarrow x= \frac{1}{2} \vee x= -\frac{1}{2}}\)

Ale jeżeli bedziemy podstawiać cos innego to wyjdzie inaczej a mi trzeba to ogólnie rozwiazać xD