rozwiązanie równania

[apriliasr]

Hej , jak rozwiązać tego typu równanie \(\displaystyle{ z^{7} + 2z^{4} + z = 0}\) . Proszę o instrukcje , pozdrawiam

[bartek118]

\(\displaystyle{ z^{7} + 2z^{4} + z = z(z^{6} + 2z^{3} + 1) = z (z^{3}+1)^2 = z (z+1)^{2} (z^{2}-z +1)^{2}}\)
Czyli mamy już rozwiązania
\(\displaystyle{ z = 0}\) oraz \(\displaystyle{ z=-1}\)
Pozostaje sprawdzić jeszcze
\(\displaystyle{ (z^{2}-z +1)^{2} = 0}\)
Ale to jest standardowe równanie kwadratowe, dla którego otrzymujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ z=(-1)^{\frac{1}{3}}}\)
\(\displaystyle{ z=-(-1)^{\frac{2}{3}}}\)

[Quaerens]

Najlepiej wprowadzić zmienne pomocnicze w równaniu bartka:

\(\displaystyle{ z(z^{6} + 2z^{3} + 1)=0}\)

Potem, obliczyć pierwiastki, a dla łatwości na końcu zwniąć jeszcze nawias, aby wiedzieć, że są 3 pierwiastki dwukrotne.