Rozkład wielomianu

[Heniek1991]

Wiem, że rozkład nie jest trudny, ale jakoś nie mogę wpaść na trik potrzebny do rozłożenia
\(\displaystyle{ x ^{12} + x^{8} + x^{4} + 1}\)

Mam to rozłożyć w dziedzinie zespolonej, ale mam problem z rzeczywistą (wiadomo że każdy wielomian można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia drugiego.

Dochodzę do
\(\displaystyle{ \left( x ^{2} - \sqrt{2}x + 1 \right)\left( x ^{2} + \sqrt{2}x + 1 \right)\left( x ^{4} - \sqrt{2}x + 1 \right)\left( x ^{4} + \sqrt{2}x + 1 \right)}\)

Dalej nie mam pomysłu

[matmi]

Spróbuj zacząć tak:
\(\displaystyle{ x ^{12} + x^{8} + x^{4} + 1=x^8(x^4+1)+(x^4+1)=(x^8+1)(x^4+1)=(x^4+i)(x^4-i)(x^2+i)(x^2-i)=\ldots}\)

i cały czas korzystaj ze wzoru na iloczyn sumy i różnicy, powinno wyjść

[Mariusz M]

Jeżeli dany jest wielomian

\(\displaystyle{ x ^{12} + x^{8} + x^{4} + 1}\)

mozńa zastosować najpierw grupowanie wyrazów

\(\displaystyle{ x ^{12} + x^{8} + x^{4} + 1=x^{8}\left(x^4+1 \right)+1 \cdot \left( x^4+1\right) \\
x ^{12} + x^{8} + x^{4} + 1=\left( x^8+1\right)\left( x^4+1\right)}\)

Teraz można skorzystać ze wzoru Moivre na pierwiastki liczby zespolonej
a następnie przejść na postać iloczynową