Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków..

[plancys]

"Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków piątego stopnia z 1. Czy zadanie da się
uogólnić?"

[matmi]

Pierwiastki piątego stopnia z 1 są pierwiastkami następującego wielomianu:
\(\displaystyle{ z^5-1=0}\)

Przypominamy sobie wzory Viete'a (można zajrzeć do wiki)
i korzystamy z tego gdzie jest suma \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}\) oraz tego gdzie jest iloczyn \(\displaystyle{ x_1x_2x_3x_4x_5}\)

Oczywiście zadanie to da się uogólnić na pierwiastek n-tego stopnia. Robi się to analogicznie jak wyżej tylko zamiast 5 mamy n pierwiastków i wielomian n-tego stopnia.

[Mariusz M]

Obliczając sumę pierwiastków z jedynki korzystasz ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego
Obliczając iloczyn sumujesz wykładniki korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
czyli tak jak Carl Gauß dodawał

Pierwiastki n tego stopnia z jedynki mają postać

\(\displaystyle{ e^{ \frac{2k\pi}{n} \cdot i }}\)

\(\displaystyle{ k \in Z_{n}}\)

Suma pierwiastków z jedynki
Należy skorzystac ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego
czyli

\(\displaystyle{ \frac{1-\exp(\frac{2*i*n*\pi}{n})}{1-\exp(\frac{2*i*\pi}{n})}\\
\frac{1-1}{1-\exp(\frac{2*i*\pi}{n})}\\
\sum_{k=0}^{n-1} \quad \varepsilon_{k}= 0}\)


Korzystamy ze wzoru Gaussa na sumę ciągu arytmetycznego i z własności
działań na potęgach

\(\displaystyle{ \exp(\frac{2*i*n*\pi}{n}*\frac{\left(n-1\right)n}{2})\\
\exp{(i\pi*\left(n-1\right))}\\
\prod_{k=0}^{n-1} \quad \varepsilon_{k}=\left(-1\right)^{n-1}\\
n \geq 2 \in \mathbb{Z}}\)

Oczywiście zadanie to da się zrobić bez jawnego korzystania z zespolonych

tak jak proponuje @matmi