Część rzeczywista l. zespolonej na płaszczyźnie Gaussa

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Nikolaus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 12 kwie 2009, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 6 razy

Część rzeczywista l. zespolonej na płaszczyźnie Gaussa

Post autor: Nikolaus »

Witam,

Próbuję rozwiązać poniższe zadanie różnymi sposobami i nie jestem w stanie dojść, dlaczego rozwiązaniem jest okrąg \(\displaystyle{ s=(0,0)}\), o promieniu \(\displaystyle{ r=1}\).

\(\displaystyle{ \textbf{Re}\frac{z+1}{z-1}=0}\)


Potraktowałem to jako f. homograficzną i wtedy wyszedł przedział \(\displaystyle{ (gdy \ \left x\neq\frac{-d}{c})}\). Nie wiem, pilnie potrzebuję jakiejś wskazówki, bo na etapie bieżącym nic nie wymyślę.

Z góry dzięki.
Pozdrawiam!
Awatar użytkownika
Gacuteek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1075
Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 272 razy

Część rzeczywista l. zespolonej na płaszczyźnie Gaussa

Post autor: Gacuteek »

Podstaw \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
Wymnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}-1}}\) aby pozbyć się części urojonej mianownika, następnie wyznacz część rzeczywistą wyrażenia.
Rozwiązaniem będzie okrąg bez punktu \(\displaystyle{ z=1}\)
Pozdrawiam MG.
Nikolaus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 12 kwie 2009, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 6 razy

Część rzeczywista l. zespolonej na płaszczyźnie Gaussa

Post autor: Nikolaus »

\(\displaystyle{ \textbf{Re} \ \frac{(a+bi+1)}{(a+bi-1)}\frac{(a-bi-1)}{(a-bi-1)}=0}\)

po wymnożeniu otrzymuję:

\(\displaystyle{ \textbf{Re} \ \frac{(a^{2}+b^{2}-2bi-1)}{(a^{2}+b^{2}-2a+1)}=0 \ / \ast (a^{2}+b^{2}-2bi-1)}\)

\(\displaystyle{ \textbf{Re} \ a^{2}+b^{2}=2bi+1}\)


czyli: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\)


przy czym: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-2a+1\neq0}\)

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\neq2a-1}\)

Dlaczego bez punktu \(\displaystyle{ z=1}\)? W odp. jest narysowany cały okrąg, jak już wspomniałem
Nie mogę znaleźć w necie nic o równaniu okręgu w innej postaci (nie mam żadnego podręcznika pod ręką..), więc może to jest przeszkodą w znalezieniu odpowiedzi.
Awatar użytkownika
Gacuteek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1075
Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 272 razy

Część rzeczywista l. zespolonej na płaszczyźnie Gaussa

Post autor: Gacuteek »

\(\displaystyle{ a^{2}-2a+b^{2}+1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}+b^{2} \neq 0}\)
Zatem bez \(\displaystyle{ z=1}\)
ODPOWIEDZ