Liczby zespolone postac trygometryczna

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone postac trygometryczna

Post autor: szaman »

Witam

Mam problem z przedstawieniem liczb zespolonych w postaci trygometrycznej wiem ze sie to wylicza z modułu tych liczb np:
|5|=5
5=cos0 + isin0

|-1|=1
-1=cosΠ + isinΠ

|i|=1
i=cosΠ/2 + isinΠ/2

ale nie mam pojęcia dlaczego postac trygometryczna z takich równań ma takie wyniki:
2+2i = 2√2 (cosΠ/4 + isinΠ/4)

-2+2i = 2√2 (cos3/4Π + isin3/4Π)

2-2i = 2√2 (cos7/4Π + isin7/4Π)

-2-2i = 2√2 (cos5/4Π + isin5/4Π)

Mógł by mi to ktos wytłumaczyc dlaczego tak jest (jak się dochodzi do takich wynikow, jak sie to liczy)
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3018
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 322 razy

Liczby zespolone postac trygometryczna

Post autor: florek177 »

\(\displaystyle{ z=a+jb}\) ; \(\displaystyle{ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ; \(\displaystyle{ Arg(z)=arctg(\frac{b}{a})}\)

Na podstawie znaku przy a i b określasz ćwiartkę argumentu i dodajesz ilość \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

np. \(\displaystyle{ z=-2+j2}\) \(\displaystyle{ Arg(z)=\frac{\pi}{4}}\) i jest w drugiej ćwiartce( bo -a, +b ), więc masz Θ=\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}}\)
szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone postac trygometryczna

Post autor: szaman »

a dlaczego tu dodajesz Π/2 i dlaczego wtakim razie |-1 + i| = 3/4Π i co oznacza arctg
gruchex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 19:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupca
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Liczby zespolone postac trygometryczna

Post autor: gruchex »

Może jeszcze prościej:
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ Argz=\phi=\left\{\begin{array}{l}cos\phi=\frac{x}{|z|}\\sin\phi=\frac{y}{|z|}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy=|z|(cos\phi+isin\phi)}\)

Jeżeli sin i cos wyjdzie Ci o różnych znakach, to sprawdzasz, w których ćwiartkach leży ten kąt.
Np. jeżeli sin jest + a cos - to znaczy, że nasz kąt leży w 2 ćwiartce.
ODPOWIEDZ