Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki

[OzzyM]

\(\displaystyle{ a) \sqrt[3]{-1+i} \\
b) \sqrt[4]{-4}}\)

Proszę o pomoc.

[kelu]

\(\displaystyle{ z\ =\ \sqrt[3]{-1 + i}\\
z^{3}\ =\ -1 + i \ = \ \sqrt{2}(cos( \frac{3\pi}{4}) + isin(\frac{3\pi}{4}))\ \leftarrow \ To\ z\ rysunku\ na\ przyklad\\
z_0 \ = \ \sqrt[6]{2}(cos(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2*0*\pi}{3} ) + isin(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2*0*\pi}{3})) \ = \ \sqrt[6]{2}(cos(\frac{\pi}{4}) + isin(\frac{\pi}{4})) \\
z_1 \ = \ \sqrt[6]{2}(cos(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2*1*\pi}{3} ) + isin(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2*1*\pi}{3})) \ = \ \sqrt[6]{2}(cos(\frac{11\pi}{12}) + isin(\frac{11\pi}{12})) \\
z_2 \ = \ \sqrt[6]{2}(cos(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2*2*\pi}{3} ) + isin(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2*2*\pi}{3})) \ = \ \sqrt[6]{2}(cos(\frac{19\pi}{12}) + isin(19\frac{\pi}{12})) \\}\)

Można to jeszcze zrobić obliczając sam \(\displaystyle{ z_0}\) i wymnażając przez odpowiednie pierwiastki trzeciego stopnia z 1.

[MatizMac]

a drugi to będzie:
\(\displaystyle{ z^4=-4=4(cos \pi + isin \pi) \\ \sqrt[4]{4}=\sqrt{2} \\ z=\sqrt{2}(cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + isin \frac{\pi + 2k\pi}{4})\\ k \in \{0,1,2,3\}}\)