Warunki spełnienia "z"

[Quaerens]

Dla jakich z, w jest liczbą rzeczywistą oraz czysto urojoną.

\(\displaystyle{ w=\frac{z+1}{1-z}}\)

Pomnożyłem przez sprzężenie mianownika, ale za bardzo teraz nie wiem jak przyrównać część rzeczywistą.

[_Mithrandir]

Raz część rzeczywista prawej strony musi być zerowa, a raz część urojona.

[Quaerens]

Przyrównuję cały ułamek części rzecziwistej do 0? Możecie napisać wynik dla rzeczywistej?

[_Mithrandir]

Nie cały ułamek. Podstaw sobie \(\displaystyle{ z=x + yi}\). Potem wstaw to do \(\displaystyle{ \frac{z+1}{1-z}}\). Traktuj to jako całą liczbę zespoloną. Uprość ułamek tak, żeby w mianowniku nie było \(\displaystyle{ i}\). Potem weź część rzeczywistą z tego ułamka, mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2 + y^2}}\). Jest równe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 1=x^2 + y^2}\) (oczywiście najpierw wyznacz dziedzinę, żeby mianownik nie był zerowy). A część urojona wychodzi mi zerowa dla \(\displaystyle{ y=0}\).

[Quaerens]

\(\displaystyle{ \frac{x+yi+1}{1-x+yi}}\)

jak dobrać tu sprzężenie

[_Mithrandir]

Tak jak zawsze - zamienić znak części urojonej, na przeciwny. Tutaj mamy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ 1-x+yi}\), zamieniamy znak części urojonej na przeciwny i mamy \(\displaystyle{ 1-x - yi}\).

[Quaerens]

Możesz mi ten ułamek rozpisać bo nie mogę dojść do twojej postaci?

\(\displaystyle{ \frac{1-x^{2}+y^{2}-2xyi}{1-2x+x^{2}+y^{2}}}\)

[_Mithrandir]

Mianownik masz ok, bo \(\displaystyle{ 1-2x+x^2=(1-x)^2}\).

W ogóle \(\displaystyle{ \frac{z+1}{1-z}=\frac{(1+x)+yi}{(1-x)-yi}}\). Więc masz zły mianownik trzy posty wyżej, dlatego w liczniku nie skróciło Ci się -2xyi. Powinien Ci wyjść:

\(\displaystyle{ \frac{1-x^2-y^2 + 2yi}{(1-x^2)+y^2}}\).

[Quaerens]

Myślałem, że jeżeli posłużę się prostotą wyjdzie to samo. Możesz mi tylko to dla przykładu wymnożyć? Skoro mianownik mnożyłem każdy przez każdy i wyszło to dlaczego licznik nie chce...

[_Mithrandir]

Musiałbyś oba "igreki" zamienić na "+".

Mianownik wyszedł, bo zawsze sprzężenie "z" pomnożone przez z da kwadrat modułu, więc bez różnicy czy dasz minus w mianowniku, czy w sprzężeniu przy mnożeniu przez nie mianownika. W liczniku ten znak już psuje.

\(\displaystyle{ \frac{z+1}{1-z}=\frac{(1+x) + yi}{(1-x)-yi}=\frac{(1+x) + yi}{(1-x)-yi} \cdot \frac{(1-x) +yi}{(1-x)+yi} = \frac{1 - x^2 - y^2 + xyi + yi + yi -xyi}{(1-x)^2 + y^2}=\frac{(1-x^2-y^2) + (2y)i}{(1-x)^2 + y^2}}\)

[Quaerens]

Teraz już wiem, że po prostu dałem złe sprzężenie? Ono wygląda tak: \(\displaystyle{ 1-x+yi}\) bo nie zmieniłem znaku po podstawieniu pod z. Obserwuj ten temat, a najlepiej, abyś na niego odpowiedział, abyś mógł sprawdzić kolejne, które zrobię.

[_Mithrandir]

Tak, na tym polegał ten błąd.