rozwiąż równanie (postać wykładnicza)

[yoana91]

\(\displaystyle{ sin z = \frac{5 \sqrt{3} }{8} + \frac{3}{8}i}\)

HINT: \(\displaystyle{ \sqrt{- \frac{1}{8} - \frac{15 \sqrt{3} }{8} }= \frac{5}{4} - \frac{3 \sqrt{3} }{4}i}\)

rozwiązuję w ten sposób:

\(\displaystyle{ \frac{e ^{iz} - e ^{-iz} }{2i} =\frac{5 \sqrt{3} }{8} + \frac{3}{8}i}\) \(\displaystyle{ | *2i}\)

\(\displaystyle{ e ^{iz} - e ^{-iz}= \frac{5 \sqrt{3}i }{4}- \frac{3}{4}}\)

nie wiem co dalej

[PrzeChMatematyk]

dobrze, teraz
pomnóż to obustronnie przez \(\displaystyle{ e^{iz}}\) i podstaw: \(\displaystyle{ t=e^{iz}}\)
dostajesz zwykłe równanie kwadratowe,liczysz delte(korzystarz z hinta) pierwiastki itd wracasz do podstawienia i gra;).
Pozdrawiam

[yoana91]

wyszło mi:

\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{3} }{4}i}\)
\(\displaystyle{ t _{2} = -1+ \sqrt{3} i}\)

stąd:

\(\displaystyle{ e ^{iz} = \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{3} }{4}i \vee e ^{iz} =-1+ \sqrt{3} i}\)
\(\displaystyle{ cos z + i sin z = \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{3} }{4}i \vee cos z + i sin z = -1+ \sqrt{3} i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} cos z = \frac{1}{4} \\ sin z = \frac{ \sqrt{3} }{4} \end{cases} \vee \begin{cases} cos z = -1 \\ sin z = \sqrt{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin z}{cos z} = tan z = \sqrt{3} \vee \frac{sin z}{cos z} = tan z = - \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{\pi}{3} + k \pi \vee z= -\frac{\pi}{3} + k \pi}\)

czy to jest prawidłowe rozwiązanie?