Równanie liczby zespolone

[Robson1416]

Znajdź jakąś liczbę zespoloną z, która spełnia równanie
\(\displaystyle{ 2z^3 = −(1 − i)^2}\). Wynik przedstaw w postaci algebraicznej i zaznacz na
płaszczyźnie odpowiadający mu punkt.

Niech liczba zespolona z ma argument główny z przedziału \(\displaystyle{ [0, \pi/2]}\).
Jaki jest związek argumentami głównymi liczb zespolonych \(\displaystyle{ z \ oraz \ −iz}\)?

[PrzeChMatematyk]

jeśli chodzi o to pierwsze to wystarczy to po prawej do kwadratu zostanie -1
i potem policzyć pierwiastek 3 stopnia z \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) co sie sprowadza do podstawienia.

a jesli chodzi o to drugie to jak jeśli mnożysz liczby zespolone przez siebie to je skalujesz oraz przekrecasz o pewien kąt.
\(\displaystyle{ i=e^{i\frac{\pi}{2}}}\) tutaj przekręcamy zatem o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

[Robson1416]

Mógłbyś zapisać ten drugi podpunkt tak jak powinienem go napisać na kolokwium, bo za bardzo nie wiem jak to zrobić, co do pierwszego to :

\(\displaystyle{ z^3 = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ (x+iy)^3 = x^3+3*x^2*iy-3xy^2+y^3}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+3x^2iy-3xy^2 = - \frac{1}{2} \\ y^3 = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=0}\)

czyli \(\displaystyle{ x^3 = -\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

czy to jest dobrze zrobione ?

[Dasio11]

Nie.
Po pierwsze, źle zastosowałeś wzór skróconego mnożenia. Powinno być:

\(\displaystyle{ (x + y \mbox{i})^3=x^3 + 3x^2y \mbox{i} -3xy^2 - y^3 \mbox{i}}\)

Poza tym, nawet dla twojego wyniku, układ równań też jest niepoprawny. Przyrównanie części rzeczywistej i urojonej powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3-3xy^2=-\frac{1}{2} \\ 3x^2y-y^3=0 \end{cases}}\)


Ostatecznie, łatwiejszym sposobem rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^3=-\frac{1}{2}}\) jest skorzystanie z postaci trygonometrycznej:


\(\displaystyle{ z^3 = \frac{1}{2} \cdot (-1)= \frac{1}{2} \cdot \bigl( \cos \pi + \mbox{i} \sin \pi \bigr) \\ \\ \\
z_k= \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi + 2k \pi}{3} \right) + \mbox{i} \sin \left( \frac{\pi + 2k \pi}{3} \right) \right), \quad \quad k=0, 1, 2.}\)