Następujące wartości:
a) \(\displaystyle{ \sin 4x}\)
b) \(\displaystyle{ \cos 6x}\)
c) \(\displaystyle{ \sin 7x}\)
wyrazić za pomocą \(\displaystyle{ \cos x}\) i \(\displaystyle{ \sin x}\).
Czy może mi ktoś podpowiedzieć jaki to ma związek z liczbami zespolonymi? Czy to trzeba jakoś wyrazić w postaci trygonometrycznej liczb zespolonych?
liczby zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 16:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 3 razy
liczby zespolone
Ostatnio zmieniony 21 lis 2010, o 18:58 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Wątek zamieszczony w złym dziale.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Wątek zamieszczony w złym dziale.
- PrzeChMatematyk
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 20 razy
liczby zespolone
hehe ano ma coś wspólnego;)
wzór de'Moivre'a:
\(\displaystyle{ (cos (\phi)+isin(\phi))^4=(cos(4 \phi)+isin(4\phi))}\)
teraz wystarczy lewą strone podnieść do potęgi czwartej w standardowy sposób i porównać wyrazy stojące przy i i bez.
Pozdrawiam
wzór de'Moivre'a:
\(\displaystyle{ (cos (\phi)+isin(\phi))^4=(cos(4 \phi)+isin(4\phi))}\)
teraz wystarczy lewą strone podnieść do potęgi czwartej w standardowy sposób i porównać wyrazy stojące przy i i bez.
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
liczby zespolone
Metoda na przykładzie znalezienia wzoru na \(\displaystyle{ \sin 3x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 3x}\). Mamy:
\(\displaystyle{ (\cos x+ i \sin x)^3=\cos 3x + i \sin 3x}\)
(ze wzoru de Moivre'a)
oraz
\(\displaystyle{ (\cos x+ i \sin x)^3=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3x)}\)
(ze zwykłego podniesienia do trzeciej potęgi)
Z porównania tych wzorów:
\(\displaystyle{ \cos 3x + i \sin 3x=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3x)}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos^3x-3\cos x\sin^2x\\
\sin 3x = 3\cos^2x\sin x - \sin^3x}\)
Jeśli zrozumiesz tę metodę, to nie powinnaś mieć problemu ze swoimi przykładami.
Q.
\(\displaystyle{ (\cos x+ i \sin x)^3=\cos 3x + i \sin 3x}\)
(ze wzoru de Moivre'a)
oraz
\(\displaystyle{ (\cos x+ i \sin x)^3=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3x)}\)
(ze zwykłego podniesienia do trzeciej potęgi)
Z porównania tych wzorów:
\(\displaystyle{ \cos 3x + i \sin 3x=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3x)}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos^3x-3\cos x\sin^2x\\
\sin 3x = 3\cos^2x\sin x - \sin^3x}\)
Jeśli zrozumiesz tę metodę, to nie powinnaś mieć problemu ze swoimi przykładami.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 16:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 3 razy