liczby zespolone

[R?kawiczka]

Następujące wartości:
a) \(\displaystyle{ \sin 4x}\)
b) \(\displaystyle{ \cos 6x}\)
c) \(\displaystyle{ \sin 7x}\)
wyrazić za pomocą \(\displaystyle{ \cos x}\) i \(\displaystyle{ \sin x}\).

Czy może mi ktoś podpowiedzieć jaki to ma związek z liczbami zespolonymi? Czy to trzeba jakoś wyrazić w postaci trygonometrycznej liczb zespolonych?

[PrzeChMatematyk]

hehe ano ma coś wspólnego;)
wzór de'Moivre'a:
\(\displaystyle{ (cos (\phi)+isin(\phi))^4=(cos(4 \phi)+isin(4\phi))}\)
teraz wystarczy lewą strone podnieść do potęgi czwartej w standardowy sposób i porównać wyrazy stojące przy i i bez.
Pozdrawiam

[Qń]

Metoda na przykładzie znalezienia wzoru na \(\displaystyle{ \sin 3x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 3x}\). Mamy:

\(\displaystyle{ (\cos x+ i \sin x)^3=\cos 3x + i \sin 3x}\)
(ze wzoru de Moivre'a)

oraz

\(\displaystyle{ (\cos x+ i \sin x)^3=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3x)}\)
(ze zwykłego podniesienia do trzeciej potęgi)

Z porównania tych wzorów:
\(\displaystyle{ \cos 3x + i \sin 3x=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3x)}\)
dostajemy:

\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos^3x-3\cos x\sin^2x\\
\sin 3x = 3\cos^2x\sin x - \sin^3x}\)

Jeśli zrozumiesz tę metodę, to nie powinnaś mieć problemu ze swoimi przykładami.

Q.

[R?kawiczka]

Faktycznie...dziękuje!