wyznaczyć wszystkie liczby zespolone

[R?kawiczka]

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone dla których wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}}\) jest:
a) liczbą czysto rzeczywistą
b) liczbą czysto urojoną
Mam pytanie czy to chodzi po prostu o to że przy a) \(\displaystyle{ y=0, x \in R}\) i wtedy \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}= \frac{1+x}{1-x}}\) a w b) \(\displaystyle{ x=0, y \in R}\) i wtedy \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}= \frac{1+iy}{1-iy}}\) ?? Bardzo proszę o wskazówki.

[Dasio11]

a) Nie. Jeśli podajesz rozwiązanie, musisz je dobrze uzasadnić - wynik wyszedł ci nie do końca dobry.

Chcemy, żeby \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=r \in \mathbb{R}}\), tzn.

\(\displaystyle{ 1+z=r(1-z) \\
z(r+1)=r-1 \\ \\
z=\frac{r-1}{r+1}=1-\frac{2}{r+1} \\ \\
z \in (- \infty, 1) \cup (1, +\infty) \subset \mathbb{R}}\)

Podobnie zrób b).

[R?kawiczka]

No dobrze ale w takim razie czym się różni wynik drugiego gdy np zamiast r wstawie \(\displaystyle{ c \in C}\) to wtedy \(\displaystyle{ z=1- \frac{z}{x+iy+1}}\) i co z tym zrobić?

[Dasio11]

Gdy \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=r \mbox{i} \in \mathbb{I}}\), to

\(\displaystyle{ z=1-\frac{2}{r \mbox{i}+1}=1-\frac{2(1-r \mbox{i})}{(1+r \mbox{i})(1-r \mbox{i})}=\frac{2(1-r \mbox{i})}{r^2+1}}\)

czyli \(\displaystyle{ z \in \left\{ \frac{2}{r^2+1}-\frac{2r}{r^2+1} \mbox{i} \in \mathbb{C} : r \in \mathbb{R}\right\}}\)