Jak naszkicować takie coś?

[Quaerens]

Dopiero zaczynam płaszczyznę zespoloną:

\(\displaystyle{ Im(z^{4}) \ge 0}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \Im(z^4) \ge 0 \Leftrightarrow \arg z^4 \in \left< 0, \pi \right>}\) oraz \(\displaystyle{ \arg z^4=4 \arg z}\).

Edit: poprawka, \(\displaystyle{ \arg z^4=4 \arg z + 2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) to taka liczba, żeby prawa strona należała do przedziału \(\displaystyle{ \left( -\pi, \pi \right>}\).

[Quaerens]

Możesz mi zrobić ten przykład?

[Dasio11]

Wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ \arg z^4 \in \left< 0, \pi \right>}\), tzn. \(\displaystyle{ 0 \le 4 \arg z + 2 k \pi \le \pi}\), czyli \(\displaystyle{ -\frac{k \pi}{2} \le \arg z \le \frac{\pi - 2k \pi}{4}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \arg z \in \left(- \pi, \pi \right>}\), to \(\displaystyle{ k \in \{-2, -1, 0, 1, 2 \}}\).


\(\displaystyle{ k=-2 \quad \Rightarrow \quad \arg z=\pi}\)

\(\displaystyle{ k=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{2} \le \arg z \le \frac{3 \pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ k=0 \ \quad \Rightarrow \quad 0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ k=0 \ \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{2} \le \arg z \le -\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ k=2 \ \quad \Rightarrow \quad -\pi < \arg z \le -\frac{3 \pi}{4}}\)

Zatem rozwiązaniem jest zbiór takich \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ \arg z \in \left( -\pi, -\frac{3 \pi}{4} \right> \cup \left< -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right> \cup \left< 0, \frac{\pi}{4} \right> \cup \left< \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4} \right> \cup \{ \pi \}}\).

[Quaerens]

a nie czasem \(\displaystyle{ argz \in <0,2 \pi)}\)?

[Dasio11]

To zależy, jak kto przyjmuje. Jeśli na lekcji mieliście \(\displaystyle{ \arg z \in \left<0, 2 \pi \right)}\) - na podstawie mojego wcześniejszego postu powinieneś potrafić wyznaczyć rozwiązanie z tym nowym warunkiem.

[Quaerens]

No właśnie zawsze się motam, co mam podstawić za, k.