Dopiero zaczynam płaszczyznę zespoloną:
\(\displaystyle{ Im(z^{4}) \ge 0}\)
Jak naszkicować takie coś?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Jak naszkicować takie coś?
\(\displaystyle{ \Im(z^4) \ge 0 \Leftrightarrow \arg z^4 \in \left< 0, \pi \right>}\) oraz \(\displaystyle{ \arg z^4=4 \arg z}\).
Edit: poprawka, \(\displaystyle{ \arg z^4=4 \arg z + 2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) to taka liczba, żeby prawa strona należała do przedziału \(\displaystyle{ \left( -\pi, \pi \right>}\).
Edit: poprawka, \(\displaystyle{ \arg z^4=4 \arg z + 2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) to taka liczba, żeby prawa strona należała do przedziału \(\displaystyle{ \left( -\pi, \pi \right>}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Jak naszkicować takie coś?
Wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ \arg z^4 \in \left< 0, \pi \right>}\), tzn. \(\displaystyle{ 0 \le 4 \arg z + 2 k \pi \le \pi}\), czyli \(\displaystyle{ -\frac{k \pi}{2} \le \arg z \le \frac{\pi - 2k \pi}{4}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \arg z \in \left(- \pi, \pi \right>}\), to \(\displaystyle{ k \in \{-2, -1, 0, 1, 2 \}}\).
\(\displaystyle{ k=-2 \quad \Rightarrow \quad \arg z=\pi}\)
\(\displaystyle{ k=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{2} \le \arg z \le \frac{3 \pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=0 \ \quad \Rightarrow \quad 0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=0 \ \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{2} \le \arg z \le -\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=2 \ \quad \Rightarrow \quad -\pi < \arg z \le -\frac{3 \pi}{4}}\)
Zatem rozwiązaniem jest zbiór takich \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ \arg z \in \left( -\pi, -\frac{3 \pi}{4} \right> \cup \left< -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right> \cup \left< 0, \frac{\pi}{4} \right> \cup \left< \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4} \right> \cup \{ \pi \}}\).
\(\displaystyle{ k=-2 \quad \Rightarrow \quad \arg z=\pi}\)
\(\displaystyle{ k=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{2} \le \arg z \le \frac{3 \pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=0 \ \quad \Rightarrow \quad 0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=0 \ \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{2} \le \arg z \le -\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=2 \ \quad \Rightarrow \quad -\pi < \arg z \le -\frac{3 \pi}{4}}\)
Zatem rozwiązaniem jest zbiór takich \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ \arg z \in \left( -\pi, -\frac{3 \pi}{4} \right> \cup \left< -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right> \cup \left< 0, \frac{\pi}{4} \right> \cup \left< \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4} \right> \cup \{ \pi \}}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Jak naszkicować takie coś?
To zależy, jak kto przyjmuje. Jeśli na lekcji mieliście \(\displaystyle{ \arg z \in \left<0, 2 \pi \right)}\) - na podstawie mojego wcześniejszego postu powinieneś potrafić wyznaczyć rozwiązanie z tym nowym warunkiem.