Oblicz następujące przykłady, sprawdzenie

[Quaerens]

\(\displaystyle{ (\frac{1+i}{1-i})^{5}=i^{5}=i}\)

\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}-i}{2})^{12}=\frac{81}{64}-\frac{30\sqrt{3}}{64}i}\)

[Crizz]

Pierwsze OK.

Drugie jest źle. Pokaż obliczenia.

[Quaerens]

w drugim wziąłem najpierw \(\displaystyle{ ((...)^{2})^{6}}\), aż doszedłem do samej potęgi o wykładniku 3. Zła taktyka? Jeśli dobra to być może w rachunku się pomyliłem. Nawet już go chyba znalazłem. Wyszło \(\displaystyle{ 1}\)?-- 21 listopada 2010, 13:53 --\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+i)^{6}}=\frac{i}{8}}\)


A ten przykład, zarówno licznik jak i mianownik przedstawić w postaci tryg.?

\(\displaystyle{ \frac{(1+i\sqrt{3})^{13}}{(\sqrt{3}-i)^{11}}}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt{3}-\mbox{i}}{2} \right)^{12}=1}\)

stosunkowo łatwo przedstawić to w postaci trygonometrycznej i w ten sposób policzyć;

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+\mbox{i})^{6}}=\frac{\mbox{i}}{8}}\) - ok;

Zauważ, że \(\displaystyle{ 1+ \mbox{i} \sqrt{3}=\mbox{i} \bigr( \sqrt{3}-\mbox{i} \bigr)}\)

[Quaerens]

Wtedy to się równa \(\displaystyle{ i(\sqrt{3}-i)^{2}}\). Wymnożę nawias, pomnożę składniki przez "i" i działać dalej w myśl zasad i tego co wyjdzie?

Pozdrawiam!