Postać algebraiczna liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Robson1416
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 199
Rejestracja: 30 paź 2010, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 30 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Robson1416 »

\(\displaystyle{ z = \left( \left \frac{1 - i \sqrt{3}}{1 + i } \right) ^{12}}\)

Zapisz w postaci algebraicznej. Nie wiem jak to zrobić.
razorr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 kwie 2009, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: razorr »

Najpierw górę i dół oddzielnie:
\(\displaystyle{ z = |z|(cos\alpha + isin\alpha)}\)
Później:
\(\displaystyle{ \frac{Z_{1}}{Z_{2}} = (cos(\alpha_{1}-\alpha_{2}) + isin(\alpha_{1}-\alpha_{2}))}\)
A następnie:
\(\displaystyle{ z^n = |z|^n (cos n \alpha + isin n \alpha)}\)
Robson1416
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 199
Rejestracja: 30 paź 2010, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 30 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Robson1416 »

Więc oto co mi wyszło, do końca nie wiem czy to jest dobrze.

Góra:
\(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 2}\)

Dół:
\(\displaystyle{ (1+i)}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 1}\)

\(\displaystyle{ z_{gora}=2(cos \frac{2k\pi}{3} + isin \frac{2k\pi}{3})}\)

\(\displaystyle{ z_{dol}=1(cos \frac{2k\pi}{3} + isin \frac{2k\pi}{3})}\)


\(\displaystyle{ \frac{z_{gora}}{z_{dol}} =2(cos \frac{k\pi}{12} + isin \frac{k\pi}{12})}\)

\(\displaystyle{ k= {0,1,2 ..., 11}}\)

\(\displaystyle{ z^{12}= 2^{12} (cos \frac{12k\pi}{3} + isin \frac{12k\pi}{3})}\)

Teraz pierwiastki:

\(\displaystyle{ z_{0}= 2 (cos 0 + isin 0)=2* (1+0i) = 2}\) itd aż do \(\displaystyle{ z_{11}}\)

Czy to jest dobrze zrobione ?
razorr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 kwie 2009, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: razorr »

Moim zdaniem jest dobrze, ale pierwiastków nie musisz tutaj liczyć.
Robson1416
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 199
Rejestracja: 30 paź 2010, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 30 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Robson1416 »

razorr pisze:Moim zdaniem jest dobrze, ale pierwiastków nie musisz tutaj liczyć.
Dlaczego nie muszę ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 »

Przede wszystkim, \(\displaystyle{ \left| z_{\text{dol}} \right|=\sqrt{2}}\). Poza tym co to za \(\displaystyle{ k}\)?

Mnie wyszło \(\displaystyle{ \left( \frac{1 - \mbox{i} \sqrt{3}}{1 + \mbox{i} } \right)^{12}=-64}\).
Robson1416
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 199
Rejestracja: 30 paź 2010, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 30 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Robson1416 »

Dasio11 pisze:Przede wszystkim, \(\displaystyle{ \left| z_{\text{dol}} \right|=\sqrt{2}}\). Poza tym co to za \(\displaystyle{ k}\)?

Mnie wyszło \(\displaystyle{ \left( \frac{1 - \mbox{i} \sqrt{3}}{1 + \mbox{i} } \right)^{12}=-64}\).
Tak, rzeczywiście pomyliłem powinien być pierwiastek. Dasio mógłbyś rozisać jak doszedłeś do tego krok po kroku ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 »

\(\displaystyle{ \left( \frac{1 - \mbox{i} \sqrt{3}}{1 + \mbox{i} } \right)^{12}= \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^{12} \cdot \left( \frac{\frac{1}{2} - \mbox{i} \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \mbox{i} } \right)^{12}= 2^6 \cdot \frac{ \left( \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) + \mbox{i} \sin \left(- \frac{\pi}{3} \right) \right)^{12}}{\left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + \mbox{i} \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)^{12}}= \\ \\ \\ =2^6 \cdot \left( \cos \left( 12 \cdot \bigl( -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \bigr) \right) + \mbox{i} \sin \left( 12 \cdot \bigl( -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \bigr) \right) \right) = \\ \\ = 2^6 \cdot \left( \cos \bigl(-7 \pi \bigr) + \mbox{i} \bigl( -7 \pi \bigr) \right)=2^6 \cdot (-1)=-64}\)

P.S. I jak tu nie kochać \(\displaystyle{ \LaTeX}\)u... :-)
glab
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 28 lis 2010, o 12:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 2 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: glab »

@Dasio11, co do ostatniej linijki to wiadomo, że
\(\displaystyle{ 2^{6} = 64}\)
ale nie mogę zauważyć dlaczego
\(\displaystyle{ (cos(-7 \pi ) + isin(-7 \pi))=-1}\)

Mógłby ktoś wyjaśnić?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 »

Zasada indukcji matematycznej oraz wzory redukcyjne zapewniają, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}, \quad k \in \mathbb{Z}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sin(x+2k \pi)=\sin x \\
\cos(x+2k \pi) = \cos x}\)


zatem

\(\displaystyle{ \cos(-7 \pi) = \cos(-7 \pi + 8 \pi) = \cos \pi = -1 \\
\sin(-7 \pi) = \sin (-7 \pi + 8 \pi) = \sin \pi = 0}\)


czyli \(\displaystyle{ \cos(-7 \pi) + \mbox{i} \sin (-7 \pi) = -1 + \mbox{i} \cdot 0 =-1}\).
glab
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 28 lis 2010, o 12:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 2 razy

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Post autor: glab »

Dzięki, teraz rozumiem. W końcu znalazłem błąd w przykładzie z którym się męczyłem.
ODPOWIEDZ