Postać Trygonometryczne - pierwiastki

[Robson1416]

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{\left - \frac{32}{9(1 - i \sqrt{3}) }}} \right|}\)

Zapisz wszystkie pierwiastki w postaci trygonometrycznej. Nie mam pomysłu jak to zrobić.

Tzn wiem jak pokazać pierwiastki, ale jak przekształcić w prostszą postać ten ułamek ...

[rtuszyns]

Przekształcamy w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-\frac{32}{9(1-i\sqrt{3})}}=\sqrt[4]{-\frac{32(1+i\sqrt{3})}{9(1-i\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}}=\dots =\sqrt[4]{-\frac{8}{9}-i\frac{8}{9}\sqrt{3}}}\)
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ z=-\frac{8}{9}-i\frac{8}{9}\sqrt{3}}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ |z|=\frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi =-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \varphi =\frac{2}{3}\pi}\)
Zatem mamy wszystko aby skorzystać ze wzoru de Moivre'a na pierwiastkowanie liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=|z|\left(\cos \frac{\varphi +2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi +2k\pi}{n}\right)}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ n}\) jest stopniem pierwiastka,
\(\displaystyle{ k=0,1,\dots ,n-1}\)

[Robson1416]

Właściwie rozumiem wszystko oprócz tego w jaki sposób doszedłeś do

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-\frac{32}{9(1-i\sqrt{3})}}=\sqrt[4]{-\frac{32(1+i\sqrt{3})}{9(1-i\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}}=\dots =\sqrt[4]{-\frac{8}{9}-i\frac{8}{9}\sqrt{3}}}\)

mógłbyś to rozpisać dokładnie, z góry dzięki!

[rtuszyns]

Po prostu wymnóż nawiasy i zobacz co otrzymasz. Pamiętaj tylko, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).

[Dasio11]

Chyba chodzi o tę literówkę... Powinno być

\(\displaystyle{ \ldots =\sqrt[4]{-\frac{32(1+ \mbox{i} \sqrt{3})}{9(1- \mbox{i} \sqrt{3})(1+ \textcolor{red}{\mbox{i}} \sqrt{3})}}= \ldots}\)

[Robson1416]

Chyba chodzi o tę literówkę... Powinno być

\(\displaystyle{ \ldots =\sqrt[4]{-\frac{32(1+ \mbox{i} \sqrt{3})}{9(1- \mbox{i} \sqrt{3})(1+ \textcolor{red}{\mbox{i}} \sqrt{3})}}= \ldots}\)

tak, tylko jakoś nawet z tym mi nie wychodzi, czy mógłbym prosić o postać przedostatnią bo coś źle robie i niewiem jak do tego dojść