Udowodnij zależności - liczby zespolone

[Robson1416]

Jak to udowodnić:

\(\displaystyle{ \left| \frac{z - z_{1} }{z-\overline{z_{1}}} \right|=1}\)

I drugi przykład:

\(\displaystyle{ \left| z+w \right|^{2} + \left| z-w \right|^{2}= 2 \cdot \left| z\right| ^{2} + 2 \cdot \left| w\right| ^{2}}\)

[Inkwizytor]

Ponieważ \(\displaystyle{ |z|^2=z \cdot \overline{z}}\) z tego wynika że:
\(\displaystyle{ \left| z+w \right|^{2} + \left| z-w \right|^{2}= (z+w)\cdot (\overline{z+w}) + (z-w)\cdot (\overline{z-w}) =...}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ \overline{z \pm v}= \overline{z} \pm \overline{v}}\) z tego wynika że:

\(\displaystyle{ =(z+w)\cdot (\overline{z} +\overline{w}) + (z-w)\cdot (\overline{z} - \overline{w}) =...}\)

[Dasio11]

1. Po prostu połóż \(\displaystyle{ z=a+b \mbox{i}}\).

[lampa123]

a czy pierwsze równanie jest zawsze prawdziwe ?
bo po przekształceniach otrzymuję postać:

\(\displaystyle{ |z-z_1|=|z- \overline{z_1}|}\), a to nawet po zilustrowaniu w układzie współrzędnych widać że nie dla każdego wektora jest prawdą.

Nawet podstawiając \(\displaystyle{ z=a+bi, z_1=c+di}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ |a+bi-c-di|=|a+bi-c+di| \Rightarrow (a-c)^2+(b-d)^2=(a-c)^2+(b+d)^2 \Rightarrow -bd=bd}\) .

Proszę o pomoc, co w moim rozumowaniu jest błędem

[Crizz]

Pierwsza równość nie jest zawsze prawdziwa.