Liczby zespolone 5 różnych przykładó

[Pawelck91]

\(\displaystyle{ a)|z|^{3}=iz^3 (metoda\ wykladnicza) \\ b)z^{4}= (1-i)^{4}\\c)A=z\in C: 2 \le |iz+z|\le3,\arg(z^{6})=\pi\\ d)z^{4}=1-i\sqrt3 (metoda\ wykladnicza)\\e)(\frac{1+i3\sqrt3}{\sqrt{3}+2i})^{8}}\)
Muszę te przyklady rozwiazac, jezeli ktos by mi pomogl to bylbym wdzieczny
Pozdrawiam

[Dasio11]

a, d) przedstaw obydwie strony równania w postaci wykładniczej, przyrównaj moduły i kąty;
b) np. wszystko na lewą stronę i rozkład na czynniki;
c) wzór na iloczyn modułów oraz na \(\displaystyle{ \arg(z^n)}\);

e) usuń niewymierność z mianownika, postać wykładnicza, wzorki.

[Pawelck91]

W podpunkcie c dochodzę do takiego momentu:
\(\displaystyle{ |iz+z|=|ix-y+x+iy|=|x-y+i(x+y)|}\), natomiast \(\displaystyle{ z^{6}=\pi \Rightarrow z= \frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{6}}\)
Czy moge w podpunkcie b przyjąć, że:
\(\displaystyle{ z=1-i}\) ?
Natomiast kompletnie nie wiem jak zabrać się za przykład a i częściowo c. Przykład e zrobiłem, wyszło \(\displaystyle{ -128-i128\sqrt{3}}\)

Czy mogłbyś mi wytłumaczyć przykład a i d. Chodzi mi o schemat robienia. Jak wygląda wzór na iloczyn modułów i wzór \(\displaystyle{ arg(z^{n})}\) ?

[Crizz]

Jak wygląda wzór na iloczyn modułów i wzór \(\displaystyle{ arg(z^{n})}\) ?

\(\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2|=|z_1| \cdot |z_2|}\)
\(\displaystyle{ arg \left( z^{n} \right) =n \cdot arg \left( z \right)}\)
(ogólnie \(\displaystyle{ arg(z_1 \cdot z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)}\)).

-- 19 listopada 2010, 22:03 --

a) Podstawiasz \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}}\) i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ |z|^{3}=i \cdot |z|^{3}e^{i \cdot 3\varphi}}\)
Teraz zamieniasz \(\displaystyle{ i}\) na postać wykładniczą: \(\displaystyle{ i=e^{i\frac{\pi}{2}}}\)
\(\displaystyle{ |z|^{3}=|z|^{3}e^{i\left(3\varphi+\frac{\pi}{2}\right)}}\)
Co się dzieje, jeśli \(\displaystyle{ |z|=0}\)? Jeśli \(\displaystyle{ |z| \neq 0}\), to można podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ |z|^{3}}\).

Dalej już prosto (pamiętaj, że jeśli \(\displaystyle{ e^{i\varphi_1}=e^{i\varphi_2}}\), to \(\displaystyle{ \varphi_1=\varphi_2+2k\pi,k\in \mathbb{Z}}\)).

W d) liczby po obu stronach równania zamień najpierw na postać wykładniczą.