Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których:
a) liczba u jest rzeczywista
b) liczba u jest czysto urojona
a)
\(\displaystyle{ u = \frac{z+4}{z-2i}}\)
Zacząłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{z+4}{z-2i}= \frac{x+iy+4}{x+iy-2i} * \frac{x+iy+2i}{x+iy+2i} = \frac{2xi - 2y + 4x + 4yi +
9i }{4} = \frac{1}{2}xi - \frac{1}{2}y + x + yi + 2i \setminus *2 = xi = u +2x +2yi + 4i}\)
I nie wiem co dalej
Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych dla których
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych dla których
Źle wybrałeś sprzężenie mianownika: \(\displaystyle{ \overline{x+y \mbox{i}-2 \mbox{i}}=x-y \mbox{i} + 2 \mbox{i}}\).
Gdy usuniesz niewymierność, wystarczy przyrównać do zera:
a) część urojoną;
b) część rzeczywistą.
Gdy usuniesz niewymierność, wystarczy przyrównać do zera:
a) część urojoną;
b) część rzeczywistą.
-
kitt94
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 7 kwie 2012, o 15:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pruszków
- Podziękował: 7 razy
Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych dla których
Mam problem z tym samym zadaniem, konkretnie z podpunktem b).
Moje obliczenia wyglądają w następujący sposób:
\(\displaystyle{ u = \frac{z + 4}{z - 2i} = \frac{x + iy + 4}{x + iy - 2i} = \frac{(x + iy + 4)(x - iy + 2i)}{x + iy - 2i)(x - iy + 2i)} = \frac{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y - 2ix - 2y +4}}\)
\(\displaystyle{ u = \frac{x^{2} + 2ix + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} + y^{2} - 4y +4}}\)
Skoro \(\displaystyle{ u}\) ma być czysto urojona, to \(\displaystyle{ Re u = 0}\).
Najpierw obliczam dziedzinę:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 4y + 4 \neq 0 \Leftrightarrow
(y - 2)^{2} \neq -x^2 \Leftrightarrow
y - 2 \neq \sqrt{i^{2}x^{2}} \Leftrightarrow
y - 2 \neq ix}\)
Z tego wynika:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y -2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow Re u \neq 0, Im u \neq 2}\)
Mając to na uwadze dalej rozwiązuję główną część:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} + y^{2} - 2y + 4x}{x^{2} + y^{2} - 4y + 4} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2y + 4x = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} - 4 + (y-1)^{2} - 1 = 0}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5}\)
Rozwiązaniem jest więc okrąg o środku \(\displaystyle{ -2 + i}\) i promieniu o długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).
OSTATECZNIE, biorąc pod uwagę dziedzinę, wg. moich obliczeń jest to ww. okrąg, z pominięciem punktów \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2i)}\).
Natomiast według klucza odpowiedzi, są to punkty \(\displaystyle{ (-4,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2i)}\)...
Sprawdzałem, czy faktycznie jakimś cudem \(\displaystyle{ -4}\) po podstawieniu pod \(\displaystyle{ x}\) powoduje wyzerowanie mianownika. Owszem, dzieje się tak, ale w puntach nie należących do wykresu.
Chciałbym prosić o pomoc w ustaleniu, czy to ja popełniam gdzieś głupi błąd, którego nie zauważam, czy też błąd zawarty jest w książce.
Moje obliczenia wyglądają w następujący sposób:
\(\displaystyle{ u = \frac{z + 4}{z - 2i} = \frac{x + iy + 4}{x + iy - 2i} = \frac{(x + iy + 4)(x - iy + 2i)}{x + iy - 2i)(x - iy + 2i)} = \frac{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y - 2ix - 2y +4}}\)
\(\displaystyle{ u = \frac{x^{2} + 2ix + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} + y^{2} - 4y +4}}\)
Skoro \(\displaystyle{ u}\) ma być czysto urojona, to \(\displaystyle{ Re u = 0}\).
Najpierw obliczam dziedzinę:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 4y + 4 \neq 0 \Leftrightarrow
(y - 2)^{2} \neq -x^2 \Leftrightarrow
y - 2 \neq \sqrt{i^{2}x^{2}} \Leftrightarrow
y - 2 \neq ix}\)
Z tego wynika:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y -2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow Re u \neq 0, Im u \neq 2}\)
Mając to na uwadze dalej rozwiązuję główną część:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} + y^{2} - 2y + 4x}{x^{2} + y^{2} - 4y + 4} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2y + 4x = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} - 4 + (y-1)^{2} - 1 = 0}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5}\)
Rozwiązaniem jest więc okrąg o środku \(\displaystyle{ -2 + i}\) i promieniu o długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).
OSTATECZNIE, biorąc pod uwagę dziedzinę, wg. moich obliczeń jest to ww. okrąg, z pominięciem punktów \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2i)}\).
Natomiast według klucza odpowiedzi, są to punkty \(\displaystyle{ (-4,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2i)}\)...
Sprawdzałem, czy faktycznie jakimś cudem \(\displaystyle{ -4}\) po podstawieniu pod \(\displaystyle{ x}\) powoduje wyzerowanie mianownika. Owszem, dzieje się tak, ale w puntach nie należących do wykresu.
Chciałbym prosić o pomoc w ustaleniu, czy to ja popełniam gdzieś głupi błąd, którego nie zauważam, czy też błąd zawarty jest w książce.