potęga liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
krasny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 11 lis 2010, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: oln.
Podziękował: 1 raz

potęga liczby zespolonej

Post autor: krasny »

Witajcie,
mógłby ktoś wytłumaczyć łopatologicznie, np. na takim przykładzie:

Przedstawic w postaci x + iy liczbe:

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}-i}{2} \right) ^{2010}}\)
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

potęga liczby zespolonej

Post autor: sushi »

to co masz w nawiasie, zamien na postac trgonometryczna

\(\displaystyle{ z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha)}\)

\(\displaystyle{ z^=|z|^n(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=|z|^n(\cos (n \cdot\alpha) + i \sin (n \cdot \alpha))}\)
krasny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 11 lis 2010, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: oln.
Podziękował: 1 raz

potęga liczby zespolonej

Post autor: krasny »

czyli coś takiego:

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{1} =1}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{|z|} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{y}{|z|} = - \frac{1}{2}}\)

Ćw4
\(\displaystyle{ fi= \frac{11 \pi }{6}}\)

\(\displaystyle{ z = 1 ^{2010} (cos(2010* \frac{11 \pi }{6} ) + isin(2010* \frac{11 \pi }{6} ))}\)
\(\displaystyle{ z=1(cos \pi +isin \pi )}\)
\(\displaystyle{ z=1(-1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ z=-1}\)

Teraz mam pytanie, po 1 czy to jest ok,
a po 2, co tutaj nam daje że to 4 ćwiartką, czy związku z tym, że to 4ćw, to :
\(\displaystyle{ z=1(cos \pi - isin \pi )}\)
?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

potęga liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 »

1. ok, jeśli pod koniec użyłeś wzorów redukcyjnych;
2. Ćwiartkę nr \(\displaystyle{ 4}\) rozpoznajemy na podstawie znaków funkcji trygonometrycznych, a daje nam to zawężenie przedziału poszukiwania pożądanego kąta. Dzięki temu wiesz, że \(\displaystyle{ \alpha \in \left< \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi \right)}\).
krasny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 11 lis 2010, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: oln.
Podziękował: 1 raz

potęga liczby zespolonej

Post autor: krasny »

Dasio11, wiem jak rozpoznać jaka to ćwiartka, jednak pytałem, jakie znaki będą.

\(\displaystyle{ cos \pi +/- isin \pi}\)

jeżeli w 4 tylko cos jest dodatni, to chyba powinno być -sin ?
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

potęga liczby zespolonej

Post autor: sushi »

wzor zawsze jest ten sam
np
\(\displaystyle{ z=|z| ( \cos 300^o + i \sin 300^o)}\)
ODPOWIEDZ