Witajcie,
mógłby ktoś wytłumaczyć łopatologicznie, np. na takim przykładzie:
Przedstawic w postaci x + iy liczbe:
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}-i}{2} \right) ^{2010}}\)
potęga liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
potęga liczby zespolonej
to co masz w nawiasie, zamien na postac trgonometryczna
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha)}\)
\(\displaystyle{ z^=|z|^n(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=|z|^n(\cos (n \cdot\alpha) + i \sin (n \cdot \alpha))}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha)}\)
\(\displaystyle{ z^=|z|^n(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=|z|^n(\cos (n \cdot\alpha) + i \sin (n \cdot \alpha))}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 11 lis 2010, o 20:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: oln.
- Podziękował: 1 raz
potęga liczby zespolonej
czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{1} =1}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{|z|} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{y}{|z|} = - \frac{1}{2}}\)
Ćw4
\(\displaystyle{ fi= \frac{11 \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ z = 1 ^{2010} (cos(2010* \frac{11 \pi }{6} ) + isin(2010* \frac{11 \pi }{6} ))}\)
\(\displaystyle{ z=1(cos \pi +isin \pi )}\)
\(\displaystyle{ z=1(-1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ z=-1}\)
Teraz mam pytanie, po 1 czy to jest ok,
a po 2, co tutaj nam daje że to 4 ćwiartką, czy związku z tym, że to 4ćw, to :
\(\displaystyle{ z=1(cos \pi - isin \pi )}\)
?
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{1} =1}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{|z|} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{y}{|z|} = - \frac{1}{2}}\)
Ćw4
\(\displaystyle{ fi= \frac{11 \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ z = 1 ^{2010} (cos(2010* \frac{11 \pi }{6} ) + isin(2010* \frac{11 \pi }{6} ))}\)
\(\displaystyle{ z=1(cos \pi +isin \pi )}\)
\(\displaystyle{ z=1(-1 + 0)}\)
\(\displaystyle{ z=-1}\)
Teraz mam pytanie, po 1 czy to jest ok,
a po 2, co tutaj nam daje że to 4 ćwiartką, czy związku z tym, że to 4ćw, to :
\(\displaystyle{ z=1(cos \pi - isin \pi )}\)
?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
potęga liczby zespolonej
1. ok, jeśli pod koniec użyłeś wzorów redukcyjnych;
2. Ćwiartkę nr \(\displaystyle{ 4}\) rozpoznajemy na podstawie znaków funkcji trygonometrycznych, a daje nam to zawężenie przedziału poszukiwania pożądanego kąta. Dzięki temu wiesz, że \(\displaystyle{ \alpha \in \left< \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi \right)}\).
2. Ćwiartkę nr \(\displaystyle{ 4}\) rozpoznajemy na podstawie znaków funkcji trygonometrycznych, a daje nam to zawężenie przedziału poszukiwania pożądanego kąta. Dzięki temu wiesz, że \(\displaystyle{ \alpha \in \left< \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi \right)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 11 lis 2010, o 20:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: oln.
- Podziękował: 1 raz
potęga liczby zespolonej
Dasio11, wiem jak rozpoznać jaka to ćwiartka, jednak pytałem, jakie znaki będą.
\(\displaystyle{ cos \pi +/- isin \pi}\)
jeżeli w 4 tylko cos jest dodatni, to chyba powinno być -sin ?
\(\displaystyle{ cos \pi +/- isin \pi}\)
jeżeli w 4 tylko cos jest dodatni, to chyba powinno być -sin ?