Potęga l. zespolonej, zbiór na płaszczyźnie - cz. urojona

[maciej91]

1. Mam problem gdy próbuję przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) liczbę \(\displaystyle{ \frac{i+ \sqrt{3} }{i+1}}\). Korzystałem z faktu iż \(\displaystyle{ (a+bi)^{-1} = ( \frac{a}{a^{2} + b^{2}} + \frac{-b}{a^{2} + b^{2}}i)}\). Zapisałem więc tym sposobem iloraz jako iloczyn. Moim celem jednak było obliczenie 55-ej potęgi tej liczby i przy przedstawieniu w postaci trygonometrycznej sinus i cosinus wyszły mi takie, że kąt nie był jednoznaczny. Proszę o pomoc.


2. Jak naszkicować zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ {z \in C \|\ \Im (1+i)z^{2} < 0}\right\}}\)

[Lorek]

1. Zamień licznik i mianownik na postać wykładniczą.
2. \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

[maciej91]

Nie rozumiem Twoich podpowiedzi. W 1. zamieniłem z ilorazu na iloczyn i mi dalej wychodzi sinus i cosinus taki, że nie mogę sobie z tym poradzić dalej.
A co do rysowania to radzę sobie z manipulowaniem częścią rzeczywistą i urojoną, oraz argumentem, ale nie wiem jak się zabrać kiedy w przykładzie nie jest zdefiniowana liczba \(\displaystyle{ z}\) tylko jak w podanym przykładzie \(\displaystyle{ (1+i)z^{2}}\)

[Dasio11]

Czy argumentem funkcji \(\displaystyle{ \Im}\) w wyrażenie \(\displaystyle{ \Im(i+1)z^2}\) jest liczba \(\displaystyle{ i+1}\)? Jeśli nie, radzę poprawić nawiasy, gdyż niejednoznacznie to wygląda.

[maciej91]

W przykładzie jest dokładnie tak jak zapisałem

[Lorek]

\(\displaystyle{ i+\sqrt{3}=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})=2e^{i\frac{\pi}{6}}}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}+i}{1+i}=\frac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{12}}}\)
prawda, że proste?

A co do rysowania to radzę sobie z manipulowaniem częścią rzeczywistą i urojoną, oraz argumentem, ale nie wiem jak się zabrać kiedy w przykładzie nie jest zdefiniowana liczba

No to ja ci ją zdefiniowałem, \(\displaystyle{ z=x+iy}\).

Dasio11, gdyby tam było \(\displaystyle{ [\Im(i+1)]z^2<0}\) to stąd automatycznie musielibyśmy mieć \(\displaystyle{ z\in\mathbb{R}}\) bo inaczej zadanie nie miałoby sensu, więc najprawdopodobniej chodzi o
\(\displaystyle{ \Im[(i+1)z^2]<0}\)