Pierwiastki wielomianów

[karolina_c_h]

Potrzebuję pomocy z tymi zadaniami (pilne w środę kolokwium ):
1. Liczba \(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{3} - i}\) jest jednym z pierwiastków szóstego stopnia z liczby w, obliczyć w. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej \(\displaystyle{ \sqrt[6]{w}}\).
Wyznaczyłam pozostałe pierwiastki w i co dalej?

2. Wiedząc, że \(\displaystyle{ z_{0} = 2 - i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(z)= z^{4} - 6z^{3} + 15z^{2} - 18z + 10}\), znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
Tutaj nie mam pojęcia co zrobić. Wiadomo że drugim pierwiastkiem będzie sprzężenie czyli 2 + i. Ale co dalej?
Będę wdzięczna za pomoc.

[tometomek91]

Pokaż jak zrobiłaś pierwsze zadanie.
2.
\(\displaystyle{ z_0}\) i \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) są pierwiastkami, więc:
\(\displaystyle{ W(z)= z^{4} - 6z^{3} + 15z^{2} - 18z + 10=(z^2+az+b)(z-2+i)(z-2-i)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to pewne liczby rzeczywiste.
Mamy \(\displaystyle{ (2-i)(2+i)=5}\) więc \(\displaystyle{ b=2}\), oraz
\(\displaystyle{ az^3+z^3(-2-i)+z^3(-2+i)=-6z^3}\) a stąd \(\displaystyle{ a=-2}\). Dalej łatwo.

[karolina_c_h]

Pierwiastki obliczyłam ze wzoru de Moivre’a. O ile się nigdzie nie pomyliłam wyszły tak:
\(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt{3} - i \ z_{1}= \sqrt{3}+i \ z_{2}=2i \ z_{3}=i- \sqrt{3} \ z_{4}=- \sqrt{3}-i \ z_{5} =-2i}\)
Za drugie dziękuję, pojęłam