Część rzeczywista i urojona/równanie z modułem

[14f13]

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną:
\(\displaystyle{ \frac{j +tg\alpha }{j - tg\alpha}
\\
\frac{(1+j)^n}{1-j)^{n- 2}}
n\in \mathbb{N}}\)

Jak to ugryźć? I drugie pytanie, czy moduł z liczby zespolonej, to to samo, co wartość bezwzględna? Tzn. czy
\(\displaystyle{ |z| = 2x + 5iy\\
|x+iy| = 2x - 5y\\
x +iy = 2x - 5y \vee x+iy = -2x +5y}\)

[Lorek]

1. Rozszerz ułamek o \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) i pokombinuj tak aby przejść na postać wykładniczą.
2. Zamień licznik i mianownik na postać wykładniczą.

I drugie pytanie, czy moduł z liczby zespolonej, to to samo, co wartość
bezwzględna?

W takiej postaci jak to zapisałeś to zdecydowanie nie. \(\displaystyle{ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}}\) co przy liczbach rzeczywistych (będących podzbiorem l. zespolonych) daje \(\displaystyle{ |a|=\sqrt{a^2}}\). I stąd mamy np.
\(\displaystyle{ |a|=2\iff \sqrt{a^2}=2\iff a^2=4\iff (a-2)(a+2)=0 \iff a=2\vee a=-2}\)
W \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ |z|=r>0}\) jest okręgiem.

[14f13]

W pierwszym stoję na
\(\displaystyle{ jcos\alpha + sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ jcos\alpha - sin\alpha}\)
Nie wiem co zrobić, żeby sin był przy j a nie cos :/ (wstawianie \(\displaystyle{ cosx = \sqrt{1 - sin^2 x}}\) nie ma chyba sensu?). W 2 natomiast doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{e^{i sin \frac{\pi}{4}n}}{e^{i sin \frac{7\pi}{4}(n-2)}}}\) ale co dalej też za bardzo nie wiem...
Co do tego zbioru punktów na płaszczyźnie czyli okręgu, jeśli mam równanie:
\(\displaystyle{ |z| - z = 1 +2j}\) gdzie nie wiadomą jest \(\displaystyle{ z}\), to jak mam stąd utworzyć równanie okręgu?

[Lorek]

Nie wiem co zrobić, żeby sin był przy j a nie cos :/

A może tak wzory redukcyjne? A w tym 2. to raczej nie mamy sinusów w wykładniku, tylko kąty + jeszcze moduły gdzieś ci wcięło.

A co do 3. to nie zawsze jak w równaniu jest moduł, to będzie to okrąg. W tym przykładzie skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z=a+bi}\), poprzekształcaj i porównaj części rzeczywiste i urojone.

[14f13]

Moduły są takie same więc skróciłem i tak, tam bez sinusa, poprostu mi się pomieszało ale i tak nie wiem co potem. I jak mam użyć wzorów redukcyjnych, jeśli nie mam podanych kątów?

[Lorek]

Moduły są takie same więc skróciłem i tak

To dość ciekawe, bo mi sie wydawało, że \(\displaystyle{ \frac{|z|^n}{|z|^{n-2}}\neq 1}\) ale może się mylę...

ale i tak nie wiem co potem

\(\displaystyle{ \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}}\)

I jak mam użyć wzorów redukcyjnych, jeśli nie mam podanych kątów?

Jak to nie masz? A \(\displaystyle{ \alpha}\) to co? Czyż nie zachodzi \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha)}\) ?

[14f13]

Dzięki, o to mi chodziło. Jasno i przejrzyście.