Wzory de Moivre'a

[lenkaja]

Korzystajac z wzorow de'Moivre'a wyrazic:
a)\(\displaystyle{ cos3x}\) przez funkcje \(\displaystyle{ sinx.}\)
b)\(\displaystyle{ cos5x}\) przez funkcje \(\displaystyle{ sinx}\) i \(\displaystyle{ cosx.}\)

[rodzyn7773]

Zapiszmy liczbę zespoloną o module 1 w postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ z=\cos x+i\sin x}\)
Podnieśmy ją do trzeciej potęgi zgodnie ze wzorem de Moivre'a a później zgodnie ze wzorem na dwumian Newtona.
1) \(\displaystyle{ \left( \cos x +i \sin x \right) ^3=\cos3x+i\sin3x}\)

2) \(\displaystyle{ \left( \cos x +i \sin x \right) ^3= \cos ^ 3x+3 \cos ^ 2x \cdot i \cdot \sin x +3 \cos x \cdot i^2 \cdot \sin ^ 2x+i^3 \cdot \sin ^ 3x= \left( \cos ^ 3x-3 \cos x \sin ^ 2x \right) +i \left( 3 \cos ^ 2x \sin x - \sin ^ 3x \right)}\)

Otrzymujemy oczywistą równość:
\(\displaystyle{ \cos3x+i\sin3x= \left( \cos ^ 3x-3 \cos x \sin ^ 2x \right) +i \left( 3 \cos ^ 2x \sin x - \sin ^ 3x \right)}\)
Mamy dwie liczby zespolone. Są one sobie równe kiedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos3x= \cos ^ 3x-3 \cos x \sin ^ 2x \\ \sin3x=3 \cos ^ 2x \sin x - \sin ^ 3x \end{cases}}\)
Żeby wyrazić \(\displaystyle{ \cos3x}\) za pomocą jedynie \(\displaystyle{ \sin x}\) trzeba wyrazić \(\displaystyle{ \cos x}\) za pomocą \(\displaystyle{ \sin x}\).

[lenkaja]

Czy moge napisac, ze \(\displaystyle{ \cos x= \sqrt{1-\sin ^{2}x }}\)?

[rodzyn7773]

jak najbardziej

[lenkaja]

Pytam dlatego, że \(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin ^{2}x }=\left| \cos x\right|}\)

[rodzyn7773]

Masz rację czyli chyba jednak nie możesz. Mój błąd. Trochę mnie martwi właśnie, że trzeba zapisać to tylko za pomocą funkcji sinus bo nie będzie to "ładnie" wyglądało.

[Afish]

Możesz wykorzystać wzór redukcyjny.