mam takie równanie \(\displaystyle{ (z ^{3}+i)(z ^{2}+4z+5)}\)
z tego drugiego nawiasu wyszło mi tak:\(\displaystyle{ \Delta=-4}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=-2-i}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=-2+i}\)
nie wiem jak mam sie wziąśc za ten pierwszy nawias.
problem z równaniem
-
- Użytkownik
- Posty: 196
- Rejestracja: 6 mar 2010, o 15:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: radom
-
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
problem z równaniem
\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-i}}\). Możesz to obliczyć na dwa sposoby :
\(\displaystyle{ \textbf{I sposób}}\)Wykorzystując wzór na pierwiastek stopnia n (w Twoim przypadku n=3) z liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ \textbf{Twierdzenie} \quad \text{Istnieje dokładnie n pierwiastków stopnia n z dowolnej liczby zepolonej} \\ z\neq 0. \text{Gdy} \, \, z= \vert z \vert \left ( \cos \varphi + i \sin \varphi \right ), \text{to dane są one wzorem :}
\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\vert z \vert} \left ( \cos \frac{ \varphi + k \cdot 360^{\circ}}{n}+i \sin \frac{ \varphi + k \cdot 360^{\circ}}{n} \right ), \, \, \text{gdzie} \, \, k=0,1,2,\ldots,n-1.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{II sposób}}\) Niech \(\displaystyle{ w=x+iy}\) będzie pierwiastkiem stopnia 3 z liczby \(\displaystyle{ z=-i}\). Wtedy \(\displaystyle{ w^3=z}\). Podnieść liczbę w do trzeciej potęgi, uporządkować do postaci kanonicznej i przyrównać liczby zespolone - odpowiednio części urojone i rzeczywiste. Rozwiązując układ otrzymujesz x,y, czyli tak naprawdę w - a to jest pierwiastek 3 stopnia z Twojej liczby \(\displaystyle{ -i}\).
\(\displaystyle{ \textbf{I sposób}}\)Wykorzystując wzór na pierwiastek stopnia n (w Twoim przypadku n=3) z liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ \textbf{Twierdzenie} \quad \text{Istnieje dokładnie n pierwiastków stopnia n z dowolnej liczby zepolonej} \\ z\neq 0. \text{Gdy} \, \, z= \vert z \vert \left ( \cos \varphi + i \sin \varphi \right ), \text{to dane są one wzorem :}
\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\vert z \vert} \left ( \cos \frac{ \varphi + k \cdot 360^{\circ}}{n}+i \sin \frac{ \varphi + k \cdot 360^{\circ}}{n} \right ), \, \, \text{gdzie} \, \, k=0,1,2,\ldots,n-1.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{II sposób}}\) Niech \(\displaystyle{ w=x+iy}\) będzie pierwiastkiem stopnia 3 z liczby \(\displaystyle{ z=-i}\). Wtedy \(\displaystyle{ w^3=z}\). Podnieść liczbę w do trzeciej potęgi, uporządkować do postaci kanonicznej i przyrównać liczby zespolone - odpowiednio części urojone i rzeczywiste. Rozwiązując układ otrzymujesz x,y, czyli tak naprawdę w - a to jest pierwiastek 3 stopnia z Twojej liczby \(\displaystyle{ -i}\).