Udowodnij tożsamość dla liczb zespolonych.

[ZuZ:*:))]

Udowodnij że:
\(\displaystyle{ |z+u|^{2} + |z-u|^{2} = 2(|z|^{2} +|u|^{2})}\)

i zaczełam tak:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ u=x+yi}\)

\(\displaystyle{ z+u=(a+x)+(b+y)i}\)
\(\displaystyle{ z-u=(a-x)+(b-y)i}\)

\(\displaystyle{ |z+u|^{2}=(a+x)^{2}-(b+y)^{2}+2(a+x)(b+y)i=a^{2}+2ax+x^{2}-b^{2}-2by-y^{2}+2(ab+ay+xb+xy)i}\)

\(\displaystyle{ |z-u|^{2}=(a-x)^{2}-(b-y)^{2}+2(a-x)(b-y)i=a^{2}-2ax+x^{2}-b^{2}+2by-y^{2}+2(ab-ay-xb+xy)i}\)

\(\displaystyle{ |z+u|^{2}+|z-u|^{2}=2a^{2}+2x^{2}-2b^{2}-2y^{2}+4(ab+xy)i}\)

no i wynik jest zły bo mi nie wychodzi ten dowód? co robię źle? proszę o pomoc!

-- 8 listopada 2010, 17:29 --

albo dobra już wiem (gapa ze mnie) ale moge odpowiedzieć też żeby reszta wiedziała:

\(\displaystyle{ |z|^{2}=(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi}\)
\(\displaystyle{ |u|^{2}=(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ 2(|z|^{2}+|u|^{2})=2a^{2}-2b^{2}+4abi+2x^{2}-2y^{2}+4xyi}\)

czyli jest to ten sam wynik na którym zacięłam się w poprzednim poście:)

[Qń]

Bardziej elegancko jest skorzystać z tożsamości \(\displaystyle{ |w|^2=w\cdot \overline{w}}\) i zacząć:
\(\displaystyle{ |z+u|^2+|z-u|^2=(z+u)(\overline{z}+\overline{u})+(z-u)(\overline{z}-\overline{u})= \dots}\)

Q.