Oblicz działanie

[mati2021]

Witam
Jestem nowy na forum i prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu mojego działania. Od niedawna zacząłem zapoznawać się z liczbami zespolonymi i mam mały problem.
Mógłby ktoś w jakiś jasny sposób rozjaśnić, wytłumaczyć mi jak to rozwiązać i dlaczego akurat tak?
\(\displaystyle{ Im \frac{(1-i)\overline{z}}{(1+i)z}}\)

Byłbym wdzięczny.

[hawkeye]

Na początku pozbywamy się liczb urojonych w mianowniku i podane wyrażenie zapisujemy w postaci Re(z)+Im(z):
\(\displaystyle{ \frac{(1-i) \cdot \overline {z}}{(1+i) \cdot z} \cdot \frac{(1-i) \cdot \overline{z}}{(1-i) \cdot \overline{z}}= (*)}\)
Zajmiemy się teraz samym mianownikiem (korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ z \cdot \overline{z}=\left| z\right|}\))
\(\displaystyle{ (1+i) \cdot (1-i) \cdot z \cdot \overline{z}=2 \cdot \left| z\right|=2 \cdot ( x^{2}+ y^{2})}\)
\(\displaystyle{ (*)= \frac{(1-2i-1) \cdot (x ^{2}- 2ixy-y ^{2}) }{2(x ^{2}+y ^{2} ) }= {\frac{-i}{x ^{2}+y ^{2}} \cdot (x ^{2} -y ^{2} -2ixy) }=}\)
\(\displaystyle{ ={\frac{i}{x ^{2}+y ^{2} }}\cdot (y ^{2}-x ^{2})+ \frac{2i ^{2}xy }{x ^{2}+y ^{2} }= {\frac{i}{x ^{2}+y ^{2} }} \cdot (y ^{2}-x ^{2}) - \frac{2xy}{x ^{2}+y ^{2} }}\)
Zatem
\(\displaystyle{ Im \frac{(1-i)\overline{z}}{(1+i)z}= \frac{y ^{2}-x ^{2}}{x ^{2}+y ^{2} }}\)

[mati2021]

A co mam rozumieć przez "Im" przed moim działaniem? Co ono wnosi do działania?

I czy nie powinno być \(\displaystyle{ |z|^{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ 2|z|}\)

[hawkeye]

To znaczy część urojoną liczby zespolonej, np.mamy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy \(\displaystyle{ y}\) jest częścią urojoną, natomiast \(\displaystyle{ x}\) częścią rzeczywistą. W podanym zadaniu musimy doprowadzić podane działanie do takiej postaci aby oddzielić część rzeczywistą od urojonej.
Dobrze jest \(\displaystyle{ z \cdot \overline {z}=\left| z ^{2} \right|}\) Po prostu pomyliłem się w zapisie.

[mati2021]

A mi się wydawało, że \(\displaystyle{ z \cdot \overline{z}= |z|^{2}}\)