Rownanie zespolone

[lenkaja]

Rozwiaz równanie:
\(\displaystyle{ z ^{7}= \vec{z}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \vec{z}-}\)sprzezenie liczby z.

[piootrekk]

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy \ \wedge \ \overline{z}=x=iy}\)

[lenkaja]

Nie wydaje mi sie, ze to dobry sposob. Ile by tam bylo mnozenia, potegowania itd. Moze jest jakis prostszy sposob?

[Qń]

\(\displaystyle{ z^7=\overline{z}}\)
Jeśli przyłożymy moduł do obu stron, nietrudno będzie zauważyć, że \(\displaystyle{ |z|=1}\) lub \(\displaystyle{ |z|=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ |z|=0}\) to \(\displaystyle{ z=0}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ |z|=1}\), to z uwagi na tożsamość \(\displaystyle{ z\cdot \overline{z} = |z|^2}\), po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ z}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ z^8=1}\)
co już bardzo łatwo rozwiązać.

Q.

[lenkaja]

Wszystko jasne, oprocz tego- skad wniosek, ze \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\) lub \(\displaystyle{ \left| z\right|=0}\)?-- 10 lis 2010, o 16:48 --Ok, juz sobie do tego doszlam, dzieki