rozwiązać równanie

[kolezankaqq]

jak rozwiązać to równanie \(\displaystyle{ (z+2) ^{n} -(z-2) ^{n} =0}\) ?

[?ntegral]

\(\displaystyle{ (z+2)^{n}-(z-2)^{n}=0}\)

\(\displaystyle{ (z+2)^{n}=(z-2)^{n}}\)

\(\displaystyle{ (z+2)=(z-2)\cdot\sqrt[n]{1}}\)

\(\displaystyle{ (z+2)=(z-2)\cdot(\cos{\tfrac{2k\pi}{n}}+i\sin{\tfrac{2k\pi}{n}}) \quad \wedge \quad k \in \mathbb{Z}}\)

[kolezankaqq]

dzięki. ale mam pytanie dlaczego tam się pojawiło \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1}}\) ?

[?ntegral]

Zależność ta wynika z jednej z podstawowych własności liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ z^{n}=w^{n}\ \Rightarrow \ z=w \sqrt[n]{1}}\)

[kolezankaqq]

a czemu po lewej stronie sie tego nie dopisuje?

[?ntegral]

Wtedy własność nie miałaby sensu. Dla lepszego zrozumienia spróbuj znaleźć interpretację geometryczną tej własności.

O ile się nie pomyliłem, ostateczny wynik powinien być taki:

\(\displaystyle{ z=2 \cdot \frac{(\cos{\tfrac{2k\pi}{n}}+i\sin{\tfrac{2k\pi}{n}})+1}{(\cos{\tfrac{2k\pi}{n}}+i\sin{\tfrac{2k\pi}{n}})-1} \quad \wedge \quad k \in \{1,...,n-1\}}\)