Potęgowanie liczb zespolonych

[Nati071188]

Witam,
mam pytanie odnośnie przykładu:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \cdot 6^{ \frac{1}{2} } + \frac{1}{2} \cdot 6^{ \frac{1}{2} } i \right) ^{7}}\)

Jak się za to zabrać? Wiem, że korzystam z pewnego wzoru, ale mi nie wychodzi ;/
Czy ktoś mógłby napisać krok po kroku ile mu wyszedł moduł z liczby zespolonej a ile kąt alpha lub krok po kroku jak doszedł do wyniku. Dziękuję

[lukasz1804]

Na początku proponuję wyłączyć poza nawias wspólny czynnik: \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} \cdot 6^{ \frac{1}{2} } + \frac{1}{2} \cdot 6^{ \frac{1}{2} } i )^7=(\frac{\sqrt{6}}{2})^7\cdot(1+i)^7}\). Teraz można skorzystać np. ze wzoru dwumianowego (który obowiązuje także w dziedzinie zespolonej) lub (czego jednak nie proponuję) z postaci trygonometrycznej liczby \(\displaystyle{ 1+i}\) i wzoru de Moivre'a.

[Crizz]

czego jednak nie proponuję

Czemu? Akurat tu ładny kąt wychodzi.

Mamy do obliczenia \(\displaystyle{ (1+i)^{7}}\).
\(\displaystyle{ |1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+i=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ 1+i=\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\right)}\)
i możemy już dalej skorzystać ze wzoru de moivre'a.

[Nati071188]

Przeliczam to już kolejny raz..wiem jak mam liczyc, tylko mam problem z obliczeniem w tym wzorze de Moivra ile wynosi :

\(\displaystyle{ cos( \frac {7}{4} \pi )
oraz sin( \frac{7}{4} \pi)}\)

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi=2\pi-\frac{1}{4}\pi}\); skorzystaj ze wzorów redukcyjnych