Ilustracja graficzna, rozwiązanie równań

[Damian91]

1.

\(\displaystyle{ 2Imz \le z \cdot \overline{z} \le 4}\)

przedstawieniem graficznym będzie różnica 2 okręgów o środku w punkcie (0,1) i promieniach 1 i 2 ?

_____________________________________________________________________________________

2.

\(\displaystyle{ 2Rez ^{2} =0}\)

przedstawieniem graficznym będą 2 proste o wzorach y=x i y=-x

_____________________________________________________________________________________

3.

\(\displaystyle{ 2z+(1+i) \overline{z} =1-3i}\)

moim zdaniem równanie jest sprzeczne

_____________________________________________________________________________________

4.

\(\displaystyle{ \frac{z+1}{ \overline{z}-1 } =-1}\)

to również jest sprzeczne

_____________________________________________________________________________________

5.

\(\displaystyle{ z ^{2} +9=0}\)

to też jest sprzeczne

_____________________________________________________________________________________

6.

\(\displaystyle{ z ^{2}+9z+13=0}\)

jest sprzeczne

_____________________________________________________________________________________


jeśli coś jest źle proszę o poprawę zadania i wyjaśnienie
z góry dziękuje

PS. strzałka nad z to sprzężenie

[Crizz]

Co do zadania 5. i 6., to równanie wielomianowe n-tego stopnia w liczbach zespolonych ma zawsze dokładnie n pierwiastków, zatem żadne z podanych równań nie może być sprzeczne. 4. też nie jest sprzeczne, rozwiązaniem jest np. \(\displaystyle{ 2i}\), w 3. rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 2-5i}\). Pokaż najlepiej swoje rozwiązania.

2. OK, w 1. te okręgi nie będą współśrodkowe

[Damian91]

już poprawiłem

1.

\(\displaystyle{ x^{2} +(y-1) ^{2} \ge 1}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} \le 4}\)

jeśli to jet dobrze to wyszło że rozwiązaniem będzie cała płaszczyzna

nie jestem pewien, ale wydaje mi się, że moje rozwiązanie było poprawne

\(\displaystyle{ 2y \le x ^{2} +y ^{2} \le 4}\) przeniosłem -2y+1 do środkowego równania jednocześnie pozostawiając 1 tam gdzie było 2y

\(\displaystyle{ 1 \le x ^{2} +y ^{2}-2y+1 \le 4}\)

\(\displaystyle{ 1 \le x ^{2}+(y-1) ^{2} \le 4}\)

tutaj rozwiązaniem będzie tylko część płaszczyzny

______________________________________________________________________________________

3. wyszło mi źle bo machnąłem się w obliczeniach

______________________________________________________________________________________

4. tutaj równanie chyba może być sprzeczne, bo jest pierwszego stopnia

______________________________________________________________________________________

5. czy ten sposób jest poprawny?

\(\displaystyle{ z ^{2}+9=0}\)

\(\displaystyle{ z ^{2} =i ^{2} 9}\)

\(\displaystyle{ z=-3i \vee z=3i}\)

______________________________________________________________________________________

6.tutaj również machnąłem się w obliczeniach

\(\displaystyle{ z= \frac{-9- \sqrt{29} }{2} \vee z= \frac{-9+ \sqrt{29} }{2}}\)

-- 6 lis 2010, o 11:49 --

jeśli możesz to sprawdź i te równania

7.

\(\displaystyle{ z ^{2} -(3+2i)z+1+3i=0}\)

rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ z= 2+i \vee z=1+i}\)

______________________________________________________________________________________

8.

\(\displaystyle{ z^{2} +3z-3-5i=0}\)

rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ z=1+i \vee z=1-i}\)

______________________________________________________________________________________

9.

\(\displaystyle{ 2z ^{2} +z+2-i=0}\)

rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ z=0.8+0,24i \vee z=1,25-0,24i}\)

[Crizz]

1.

\(\displaystyle{ 2y \le x ^{2} +y ^{2} \le 4}\) przeniosłem -2y+1 do środkowego równania jednocześnie pozostawiając 1 tam gdzie było 2y

\(\displaystyle{ 1 \le x ^{2} +y ^{2}-2y+1 \le 4}\)

\(\displaystyle{ 1 \le x ^{2}+(y-1) ^{2} \le 4}\)

Przy nierównościach jednoczesnych możesz dodawać i odejmować wyrażenia tylko do wszystkich trzech "stron" nierówności jednocześnie.

Prawidłowo powinno być:
\(\displaystyle{ 2y \le x ^{2} +y ^{2} \le 4 \Leftrightarrow (2y \le x ^{2} +y ^{2}) \wedge (x ^{2} +y ^{2} \le 4)}\)
i teraz rozpatrujemy każdą z nierówności osobno. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x^{2} +(y-1) ^{2} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} \le 4}\)

ale rozwiązaniem nie jest cała płaszczyzna, bo te nierówności mają zachodzić jednocześnie (czyli bierzemy część wspólną, a nie sumę otrzymanych zbiorów).

4.

tutaj równanie chyba może być sprzeczne, bo jest pierwszego stopnia

Może może, ale to akurat nie jest sprzeczne, bo rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 2-5i}\). Pokaż obliczenia.

5. Tak, ten sposób jest poprawny

6. Jest OK.

7. OK.

8. Zamiast \(\displaystyle{ 1-i}\) powinno być \(\displaystyle{ -4-i}\).

9.

\(\displaystyle{ 2z ^{2} +z+2-1=0}\)

To na pewno tak miało wyglądać?

[Damian91]

4.
Damian91 napisał(a):
tutaj równanie chyba może być sprzeczne, bo jest pierwszego stopnia

Może może, ale to akurat nie jest sprzeczne, bo rozwiązaniem jest 2-5i. Pokaż obliczenia.

spróbowałem jeszcze raz to zrobić, ale wyszło mi coś takiego

\(\displaystyle{ \frac{z+1}{ \vec{z}-1 } =-1 / \cdot ( \vec{z}-1) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ (z+1)( \vec{z}-1)=-( \vec{z}-1) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}-x+2ixy=0}\)

\(\displaystyle{ x-1+2iy=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=0 \\ 2y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=0\end{cases}}\)

z=1

[Crizz]

Przepraszam, pomyłka. Chciałem napisać, że rozwiązaniem 3. jest \(\displaystyle{ 2-5i}\), a rozwiązaniem 4. jest np. \(\displaystyle{ 2i}\).

\(\displaystyle{ \overline{z} \neq 1 \Rightarrow z\neq 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1|\cdot(\overline{z}-1)\\
z+1=-\overline{z}+1\\
x+yi+1=-x+yi+1\\
2x=0\\
x=0,y\in\mathbb{R}}\)

[Damian91]

rozumiem, rozwiązaniem będzie z=iy, gdzie \(\displaystyle{ y \in R}\), (za y można podstawić dowolną liczbę rzeczywistą)

[Crizz]

Dokładnie.