troche zadan z liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
jerer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 29 maja 2008, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

troche zadan z liczb zespolonych

Post autor: jerer »

Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnić
1.
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{i=1} i = \frac{n\left( n+1\right) }{2} \ dla \ n \in N;}\)

\(\displaystyle{ 10|n ^{5} - n, \ dla \ n \in N \ i \ n \ge 2}\)

2.
Oblicz

\(\displaystyle{ 5 + _{7} 6}\)

3.
Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i}\)

wiem, że trzeba skorzystać z tego

\(\displaystyle{ z = r \left( cos\varphi + sin\varphi\right)}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \pi}\)

4.
Mając dane liczby zespolone
\(\displaystyle{ z _{1} = 2\left( cos \frac{ \pi }{8} + i sin \frac{\pi}{8} \right) ,}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = cos \frac{ \pi }{5} + i sin \frac{ \pi }{5} ,}\)
\(\displaystyle{ z _{3} = 3\left( cos \frac{3 \pi }{10} + i sin \frac{3 \pi }{10} \right)}\)

a)
\(\displaystyle{ z _{1}z _{2}}\)

b)
\(\displaystyle{ z^{2}_{1}z_{3}^{2}}\)

5.
Korzystając ze wzoru Moivre'a obliczyć

\(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{25}}\)
tego chyba nawet ze wzorem nie ruszę, po prostu muszę widzieć jak to jest robione

6. Obliczyć

a)\(\displaystyle{ \sqrt{-81}}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt{3-4i}}\)

7.
Rozwiązać równania, \(\displaystyle{ x \in C}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} -4i - 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ x ^{4} + ix ^{2} + 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ z ^{4} = \left( 1-i\right) ^{4}}\)
Ostatnio zmieniony 4 lis 2010, o 19:27 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Indeks dolny to '_{}', górny '^{}'. Znak spacji to'\'. Następnym razem na zadania niezwiązane z liczbami zespolonymi proszę założyć osobny temat.
Caballero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 3 lis 2010, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kpns
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

troche zadan z liczb zespolonych

Post autor: Caballero »

3.
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i = \cos \frac{2}{3}\pi + i\sin \frac{2}{3}\pi}\)
a Twoje \(\displaystyle{ r=1}\), więc pominąłem w zapisie

4.
Korzystasz ze wzoru:

\(\displaystyle{ z_ {1} z_ {2} = |z_{1}||z_{2}|(\cos(\psi_{1} + \psi_{2}) + i\sin(\psi_{1} + \psi_{2}))}\)

\(\displaystyle{ z_ {1} z_ {2} = 2(\cos (\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}) + i\sin(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}))}\)

\(\displaystyle{ z_ {1} z_ {2} = 2(\cos (\frac{13\pi}{40}) + i\sin(\frac{13\pi}{40})}\)

5.
Najpierw zapisujesz do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i = \cos \frac{2}{3}\pi + i\sin \frac{2}{3}\pi}\)
Teraz korzystasz ze wzoru Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^{n} = r^{n} (\cos n\psi + i\sin n\psi)}\)
\(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{25} = 1^{25} (\cos (25\cdot \frac{2}{3}\pi) + i\sin (25\cdot \frac{2}{3}\pi))
\\}\)




6.
a)\(\displaystyle{ \sqrt{-81}=9i \vee \sqrt{-81}=-9i}\)

b)\(\displaystyle{ \sqrt{3-4i}}\)
\(\displaystyle{ z^ {2} = 3 - 4i}\)

\(\displaystyle{ z = x + yi}\)

\(\displaystyle{ z^ {2} = (x + yi)^ {2} = x^{2} + 2xyi + y^ {2} i^ {2} = x^{2} + 2xyi - y^ {2}}\)

\(\displaystyle{ x^{2} + 2xyi - y^ {2} = 3-4i}\)

Teraz przyrównujemy części rzeczywiste i urojone.

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^ {2} - y^ {2} = 3 \\ 2xy = -4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^ {2} - y^ {2} = 3 \\ xy = -2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x = -2 \\ y = 1 \end{cases}}\)

I już tylko podstawiamy sobie x i y:

\(\displaystyle{ z = 2 - i \vee z = -2 + i}\)

7.
a)\(\displaystyle{ x ^{2} -4i - 3 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^ {2} = 3 + 4i}\)
Dalej analogicznie, jak w zad. 6

b)\(\displaystyle{ x^ {4} + i x^ {2} + 2 = 0}\)

Podstaw sobie \(\displaystyle{ t = x^ {2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ t^ {2} + it + 2 = 0}\)

Liczysz deltę:
\(\displaystyle{ \Delta = i^ {2} - 8 = -9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt {\Delta} = 3i \vee \sqrt {\Delta} = -3i}\)

Nie ma znaczenia, który pierwiastek podstawisz, bo we wzorze na pierwiastki z delty raz masz \(\displaystyle{ -\sqrt {\Delta}}\) a raz \(\displaystyle{ +\sqrt {\Delta}}\)

Podstawiasz do wzorków na \(\displaystyle{ t_ {1}}\) i \(\displaystyle{ t_ {2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt {\Delta} = 3i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}t_ {1} = -2i \\ t_ {2} = i\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x^ {2} = -2i \vee x^ {2} = i}\)

I rozwiązujesz sobie te dwa x znów analogicznie, jak w zad. 6.

Np. dla \(\displaystyle{ x^ {2} = -2i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^ {2} - b^ {2} = 0 \\ 2ab = -2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^ {2} - b^ {2} = 0 \\ ab = -1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a = 1 \\ b= -1\end{cases} \vee \begin{cases}a = -1 \\ b = 1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z = 1 - i \vee z = -1 + i}\)

c)
\(\displaystyle{ z^{4} = \left( 1-i\right) ^{4}}\)

z jest w potędze 4, więc mamy 4 pierwiastki,

stąd \(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{4} = \frac{k\pi}{2}}\)

Będzie to nam potrzebne przy stworzeniu ogólnego wzoru na pierwiastek z.

\(\displaystyle{ z_ {k} = \sqrt [4] {2} (\cos (\frac{5}{16}\pi + \frac {k\pi}{2}) + i\sin (\frac{5}{16}\pi + \frac {k\pi}{2})}\)

Jako, że mamy 4 pierwiastki, to \(\displaystyle{ k\in\lbrace0,1,2,3\rbrace}\)
Do wyżej wyprowadzonego wzoru podstawiamy k i nam wychodzą 4 pierwiastki w postaci trygonometrycznej.

\(\displaystyle{ z_ {0} = \sqrt [4] {2} (\cos (\frac{5}{16}\pi) + i\sin (\frac{5}{16}\pi) )}\)

\(\displaystyle{ z_ {1} = \sqrt [4] {2} (\cos (\frac{13}{16}\pi) + i\sin (\frac{13}{16}\pi) )}\)

\(\displaystyle{ z_ {2} = \sqrt [4] {2} (\cos (\frac{21}{16}\pi) + i\sin (\frac{21}{16}\pi) )}\)

\(\displaystyle{ z_ {3} = \sqrt [4] {2} (\cos (\frac{29}{16}\pi) + i\sin (\frac{29}{16}\pi) )}\)
ODPOWIEDZ