Rozwiąż równanie

[Piotr20]

Witam wszystkich bardzo serdecznie. Zwracam się z prośbą o sprawdzenie poniższego równania.

1) \(\displaystyle{ \bar{z} = z^{2}}\)

\(\displaystyle{ x-iy = (x + iy) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x-iy = x ^{2} + 2iyx - y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x -x ^{2} + y ^{2} = iy + 2iyx}\)
\(\displaystyle{ x -x ^{2} + y ^{2} + i \left( -y - 2yx \right) = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x - x ^{2} + y ^{2} = 0 \\ -y -2yx = 0 \end{cases}}\)

metodą podstawiania do drugiego równania:
\(\displaystyle{ y(-1 - 2x) = 0}\) otrzymuję \(\displaystyle{ y=0 \wedge x= \left( - \frac{1}{2} \right)}\)

a) dla \(\displaystyle{ y=0}\)
\(\displaystyle{ -x ^{2} + x = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 1; \ \sqrt{\Delta} = 1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} = 0 \\ y _{1} = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} = 1 \\ y _{2} = 0 \end{cases}}\)

b) dla \(\displaystyle{ x= \left( - \frac{1}{2} \right)}\)

podstawiam do: \(\displaystyle{ x - x ^{2} + y ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) + y ^{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} = \left( -\frac{1}{2} \right) \\ y _{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{2} = \left( -\frac{1}{2} \right) \\ y _{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ z _{1} = 0}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ z _{3} = \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)}\)
\(\displaystyle{ z _{4} = \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)}\)

Serdecznie dziękuję i pozdrawiam

[Caballero]

Twój sposób dobry, tylko prawie na samym początku zgubiłeś jedną 2, przez co wyszło Ci, tak jak wyszło

\(\displaystyle{ \begin{cases} x - x ^{2} + y ^{2} = 0 \\ y + yx = 0 \end{cases}
\\}\)

A powinno być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x - x ^{2} + y ^{2} = 0 \\ y + 2yx = 0 \end{cases}
\\}\)

\(\displaystyle{ \bar z = z ^{2}

1 ^{o} \ z=0}\)
Podstawiasz z=0 i wychodzi 0=0, w związku z czym mamy jedno rozwiazanie.

\(\displaystyle{ 2^{o} \ z\neq0}\)
Korzystamy z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej oraz wzoru Moivrea i porównujemy obie strony równania.

\(\displaystyle{ r[\cos (-\psi) +i\sin (-\psi)] = r^{2} (\cos 2\psi + i\sin 2\psi)


\begin{cases}r=r^{2} \\ 2\psi=-\psi +2k\pi \end{cases}
\\
\begin{cases}r=1 \\ 3\psi=2k\pi \end{cases}
\\
\begin{cases}r=1 \\ \psi=\frac{2}{3}k\pi \ k\in\lbrace 0,1,2\rbrace \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z _{o}=\cos 0 + i\sin 0 = 1\\
z _{1}=\cos \frac{2}{3}\pi + i\sin \frac{2}{3}\pi = \frac{-1+ i\sqrt{3} }{2} \\
z _{2}=\cos \frac{4}{3}\pi + i\sin \frac{4}{3}\pi = \frac{-1-i\sqrt{3} }{2} \\}\)

[Piotr20]

Dzięki piękne za szybką odpowiedź i poświęcony dla mnie czas .

PS: Swój post z przykładem poprawiłem

Pozdrawiam bardzo serdecznie
Piotr