Obliczyć iloczyn i sumę pierwiastków równania:
\(\displaystyle{ (z-1)^3=2+5i}\)
Iloczyn i suma pierwiastów równania.
-
Caballero
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kpns
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Iloczyn i suma pierwiastów równania.
Niech \(\displaystyle{ t\in\C: t=z-1}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=2+5i}\)
Wiemy, że pierwiastki każdej liczby zespolonej możemy utworzyć, poprzez wymnożenie jednego z pierwiastków l. zespolonej przez odpowiednie pierwiastki z 1.
Mamy pierwiastek 3-go stopnia.
Pierwiastki z 1: \(\displaystyle{ 1, \ \omega, \ \omega^ {2}.}\)
Wiemy też, że suma pierwiastków z 1: \(\displaystyle{ 1 + \omega + \omega^ {2} = 0}\)
Pierwiastki naszej liczby zespolonej t:
\(\displaystyle{ t_{1}, \ t_{1}\cdot \omega, \ t_{1}\cdot \omega^{2}}\)
Wtedy dodajemy pierwiastki:
\(\displaystyle{ t_{1} + t_{1}\omega + t_{1} \omega^{2} = t_{1} (1 + \omega + \omega^{2}) = t_{1}\cdot0 = 0}\)
\(\displaystyle{ t_{1} \cdot t_{1}\omega \cdot t_{1} \omega^{2} = t_{1}^{3} \omega^{3} = t^{3} \cdot 1 = (z-1)^{3} = 2+5i}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=2+5i}\)
Wiemy, że pierwiastki każdej liczby zespolonej możemy utworzyć, poprzez wymnożenie jednego z pierwiastków l. zespolonej przez odpowiednie pierwiastki z 1.
Mamy pierwiastek 3-go stopnia.
Pierwiastki z 1: \(\displaystyle{ 1, \ \omega, \ \omega^ {2}.}\)
Wiemy też, że suma pierwiastków z 1: \(\displaystyle{ 1 + \omega + \omega^ {2} = 0}\)
Pierwiastki naszej liczby zespolonej t:
\(\displaystyle{ t_{1}, \ t_{1}\cdot \omega, \ t_{1}\cdot \omega^{2}}\)
Wtedy dodajemy pierwiastki:
\(\displaystyle{ t_{1} + t_{1}\omega + t_{1} \omega^{2} = t_{1} (1 + \omega + \omega^{2}) = t_{1}\cdot0 = 0}\)
\(\displaystyle{ t_{1} \cdot t_{1}\omega \cdot t_{1} \omega^{2} = t_{1}^{3} \omega^{3} = t^{3} \cdot 1 = (z-1)^{3} = 2+5i}\)