równania liczb zespolonych

[volfodzio]

Mam problem z 2 równaniami :


\(\displaystyle{ (z^{2}+i) (z^{2}-(3+i)z+4)=0}\)


\(\displaystyle{ \bar{z}z^{3}+3\bar{z}=0}\)



Nie mogę wydedukować jakiegoś sensownego rozpoczęcia tych równań, a chciałbym ułożyć sobie schemat postępowania dla takich trudniejszych równań.

[piootrekk]

No pierwsze jest proste, masz wielomian, i albo jeden nawias się równa zero albo drugi.
\(\displaystyle{ (z^{2}+i) (z^{2}-(3+i)z+4)=0 \\ z^{2}+i=0 \ \vee \ z^{2}-(3+i)z+4=0}\)

I liczysz pierwiastki z obu równań.

A w drugim najłatwiej chyba będzie po porostu podstawic \(\displaystyle{ z=x + iy}\)

Wtedy masz:
\(\displaystyle{ (x-iy)(x+iy)^{3} + 3(x-iy)=0}\)

I można albo wyłączyć wspólny wyraz przed nawias albo w \(\displaystyle{ (x-iy)(x+iy)^{3}}\) skorzystac na różnice kwadratu, wtedy będzie \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})(x+iy)^{2}}\), na pierwszy rzut oka nie jestem w stanie powiedzieć jak będzie szybciej
Potem jak wymnożysz wszystko rospisujesz na układ Rez i Imz i liczysz x i y.

[volfodzio]

W pierwszym wyszło mi że \(\displaystyle{ z= \frac{3+i+ \sqrt{-8+6i} }{2}}\) delta -8+6i i nie wiem jak go zapisać w postaci x+yi.

Drugiego nie rozumiem zapisuje \(\displaystyle{ \bar{z}(z^{3}+3)=0}\) i dalej nie mam pomysłu, jak podstawiłem i wymnożyłem wyszło mi:

\(\displaystyle{ x^{4}-y^{3}+3x=0}\) na Rez

\(\displaystyle{ y(2x^{3}+2x-3y)=0}\) na Imz

I nie jestem pewien poprawności toku rozumowania.

[piootrekk]

W pierwszym pierwiastek z delty musisz wyliczyć jak każdy inny pierwiastek z liczby zespolonej.

\(\displaystyle{ \Delta=\sqrt{-8+6i}=x+iy \\ \\ -8+6i=x^{2} + y^{2} + 2ixy \\ \\ \begin{cases} x^2 + y^2 = -8 \\ 3=xy \end{cases}}\)

I dalej podstawiasz i liczysz równanie kwadratowe od \(\displaystyle{ x}\) i wychodzi ci ile wynosi pierwiastek z \(\displaystyle{ \Delta}\).

W drugim równaniu układ powineń wyglądać tak, możliwe że gdzieś popełniłeś błąd przy wymnażaniu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{4} - y^{4} + 3x = 0 \\ y(2x^3 + 2xy^{2} -3)=0 \end{cases}}\)

Wtedy z drugiego równania rozpatrujesz na dwa przypadki, albo y=0 albo nawias równa się zero, niestety w tym równaniu trochę ciężko się to liczy ale jest poprawny tok rozumowania, by się upewnić na wolframalpha wyszły takie same wyniki, a szybszych i prostszych metod, o ile takie istnieją, nie znam

[volfodzio]

w tym pierwszym zapętlam się, wychodzi mi że

\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{-8+ \sqrt{28} }{2} }}\) lub
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{-8- \sqrt{28} }{2} }}\)

[piootrekk]

oho błąd zrobiłem, za szybko pisałem

W pierwszym pierwiastek z delty musisz wyliczyć jak każdy inny pierwiastek z liczby zespolonej.

\(\displaystyle{ \Delta=\sqrt{-8+6i}=x+iy \\ \\ -8+6i=x^{2} \underline{+ y^{2}} + 2ixy \\ \\ \begin{cases} x^2 \underline{+ y^2} = -8 \\ 3=xy \end{cases}}\)

oczywiście \(\displaystyle{ (iy)^{2}=-y^{2}}\) a nie \(\displaystyle{ y^{2}}\)

[volfodzio]

W końcu pierwsze dało jakiś spójny wynik:

\(\displaystyle{ x=-1}\) v \(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ y=-3}\) v \(\displaystyle{ y=3}\)

No i nie jestem pewien jak z tego stworzyć odpowiedz w postaci z=x+yi, wydaje mi się że powinno być:

\(\displaystyle{ z=1+3i}\)

W drugim zaś doszedłem do:

\(\displaystyle{ y^{2}= \sqrt{x^{4}+3x}}\)


i jak podstawiłem do \(\displaystyle{ 2x^{3}+2xy^{2}-3=0}\) wyszło mi że x=0 i y=0 co w sumie jest logiczną odpowiedzią bo jak podstawi się 0 0 to faktycznie wyjdzie że 0=0

[piootrekk]

Tak, w pierwszym \(\displaystyle{ z= \pm (1+3i)}\).

No a w drugim no to będzie jeden z wyników, reszta już niestety tak ładnie nie wygląda.

[volfodzio]

Dzięki teraz już na pewno sobie poradzę z resztą.