Argument liczby zespolonej

[KrawieC]

Cześć

Do wzoru na pierwiastkowanie liczb zespolonych potrzebny jest kąt fi, czyli \(\displaystyle{ arg(z)}\). Jeśli na wykresie widzimy kąt 45 stopni to po prostu wstawiamy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\). Jednak, jeśli mamy jakiś inny, nieładny kąt to do wzoru wstawiamy wartości obliczone ze wzorów
\(\displaystyle{ cos\phi= \frac{a}{\left| z\right| } \ \mbox{lub} \ sin\phi=\frac{b}{\left| z\right| }}\) ?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \varphi=\arctan{\left( \frac{b}{a} \right) }+k\pi}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} k=0 \Leftrightarrow a>0\\ k=-1 \Leftrightarrow a<0 \wedge b<0\\k=1 \Leftrightarrow a<0 \wedge b>0 \end{cases}}\)

[KrawieC]

Nie posługujemy się funkcjami arc-. Czy ten sposób, który opisałem jest błędny?

Chodzi mi o to, że jeśli z obliczonego cos i sin nie widzimy jaki to kąt, to co mam wstawić do wzoru na pierwiastki w miejsce fi. Tutaj podeprę się przykładem:

\(\displaystyle{ \sqrt{3-4i} \\ \\ \left| z\right|= \sqrt{3 ^{2}+(-4 ^{2} }=5 \\ \\ cos\varphi= \frac{3}{5} \ \ sin\varphi=- \frac{4}{5} \\}\)

W takim wypadku co wstawiamy za fi do wzoru? Wartości tego cos i sin?

[hisolmex]

tak

[Mariusz M]

KrawieC, pierwiastki drugiego stopnia to jeszcze obliczysz ale z innymi będzie ciężko
bez funkcji arc

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=sgn\left( \Im{z}\right) \sqrt{ \frac{\left| z\right|+\Re{z} }{2} }+i \cdot \sqrt{ \frac{\left| z\right|-\Re{z} }{2} }}\)

Takie coś powinieneś otrzymać rozwiązując układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}\Re^2{x}-\Im^2{x}=\Re{z} \\ 2\Re{x}\Im{x}=\Im{z} \end{cases}}\)