pierwiastki z liczby zespolonej

[fuqs]

mam problem z takim zadaniem:

oblicz:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-32 + 32 \sqrt{3}i }}\)

czy mozna sobie uproscic dalsze obliczenia zaczynajac w ten sposob? :

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-32 + 32 \sqrt{3}i } = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{-2 + 2 \sqrt{3}i }}\)

i na pocztek licze pierwiastki dla zespolonej: \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-2 + 2 \sqrt{3}i }}\)

argz wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) , i wlasnie tu zaczyna sie problem. bo np. dla pierwszego pierwiastka mam:

\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{12} + sin \frac{ \pi }{12} i )}\)

no i nie wiem jak znalezc wartosc cos i sin dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}}\)

a moze jednak zle cos robie ? i jednak nie wolno mi rozbic tego peirwiastka \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-32 + 32 \sqrt{3}i }}\) na \(\displaystyle{ \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{-2 + 2 \sqrt{3}i }}\)

a jesli moge, to jak mam pozniej "polaczyc" koncowe peirwiastki? bo \(\displaystyle{ \sqrt[4]{16} = 2 \vee \sqrt[4]{16} = -2}\) , a wiec dawaloby to lacznie 2 \(\displaystyle{ \cdot}\) 4 = 8 rozwiazan, a przeciez pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej ma maks 4 rozwiazan


dzieki z gory za pomoc

[borodziejciesla]

Możesz wyciągnąć przed nawias \(\displaystyle{ \sqrt[4]{16}}\), ale później już nie rozpatrujesz możliwości jego ujemnej wartości. Poza tym argument wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{3}}\), a co do znalezienia wartości \(\displaystyle{ sin(\frac{\pi}{12}), cos(\frac{\pi}{12})}\) to tablice matematyczne albo kalkulator.

[Mariusz M]

Wystarczy wykonać takie dzielenie

\(\displaystyle{ \frac{1+i}{ \sqrt{3}+i }= \frac{\left( 1+i\right)\left( \sqrt{3}-i \right) }{\left( \sqrt{3}+i \right)\left( \sqrt{3}-i \right) } = \frac{1+ \sqrt{3}+i\left( -1+ \sqrt{3} \right) }{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{3}+i\left( -1+ \sqrt{3} \right) }{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( \cos{\left( \frac{\pi}{12} \right) }+i\sin{\left( \frac{\pi}{12} \right) }\right)\\
= \sqrt{2} \cdot \frac{\left(1+ \sqrt{3} \right)+i\left( -1+ \sqrt{3} \right) }{4}=\left( \cos{\left( \frac{\pi}{12} \right) }+i\sin{\left( \frac{\pi}{12} \right) }\right)\\
\frac{\left(\sqrt{6}+ \sqrt{2} \right)+i\left(\sqrt{6}- \sqrt{2} \right) }{4}=\left( \cos{\left( \frac{\pi}{12} \right) }+i\sin{\left( \frac{\pi}{12} \right) }\right)}\)

Argument to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\)

a co za tym idzie będą potrzebne kąty \(\displaystyle{ \frac{ \frac{2\pi}{3}+2k\pi }{4}}\)

Wartości

\(\displaystyle{ \cos{\left( \frac{\pi}{6} \right) }}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sin{\left( \frac{\pi}{6} \right) }}\)

znasz

resztę wartości policzysz ze wzorów redukcyjnych

[fuqs]

dzieki za odpowiedzi, ale dlaczego

Możesz wyciągnąć przed nawias , ale później już nie rozpatrujesz możliwości jego ujemnej wartości

?


i

Wystarczy wykonać takie dzielenie

\(\displaystyle{ \frac{1+i}{ \sqrt{3}+i }}\)

i troche nie rozumiem skad to sie wzielo... ?

[Mariusz M]

Dzielenie na liczbach zespolonych w postaci trygonometrzycznej (biegunowej) wykonujesz w ten sposób

\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{\left| z_{1}\right| }{\left| z_{2}\right| }\left( \cos{\left( arg\left( z_{1}\right)-\arg\left( z_{2}\right) \right) }+i\sin{\left( arg\left( z_{1}\right)-\arg\left( z_{2}\right) \right)}\right)}\)


Dzielenie na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej (kartezjańskiej) wykonujesz
mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika

Wyniki porównujesz i otrzymujesz wartości cosinusa różnicy i sinusa różnicy

Z tego wynika że argument ma podobne własności co logarytm

Tutaj nie musisz jednak obliczać \(\displaystyle{ \cos{ \frac{\pi}{12} }}\)
oraz \(\displaystyle{ \cos{ \frac{\pi}{12} }}\)

ponieważ źle obliczyłeś argument

Poprawnym argumentem jest jak już pisałem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\)
a zatem obliczenia się uproszczą

Ponieważ część rzeczywista jest ujemna a część urojona dodatnia
argument obliczasz w ten sposób

\(\displaystyle{ \arctan{\left( \frac{\Im{z}}{\Re{z}} \right) }+\pi}\)

stąd argument wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\)