Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ x^{3a}+x^{3b+1}+x^{3c+2}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{N}}\).
Nie jestem pewna, czy we właściwym dziale zamieszczam ten temat.
Wykazać podzielność wielomianu
Wykazać podzielność wielomianu
Zapewne chodzi właśnie o rozwiązanie z użyciem liczb zespolonych, bo w ostatnich dniach zaczęliśmy ten temat omawiać.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykazać podzielność wielomianu
Musimy pokazać, że każdy pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ V(x)=x^2+x+1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3a}+x^{3b+1}+x^{3c+2}}\) (to wystarczy do dowiedzenia żądanej podzielności na mocy tw. Bezout).
Niech \(\displaystyle{ \epsilon}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\). Oznacza to w szczególności, że:
\(\displaystyle{ \epsilon^2+\epsilon +1=0}\)
Po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ \epsilon -1}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \epsilon^3-1=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \epsilon^3=1}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ W(\epsilon )= \epsilon^{3a}+\epsilon^{3b+1}+\epsilon^{3c+2}=
\left( \epsilon^3 \right)^a +\left( \epsilon^3 \right)^b \cdot \epsilon +\left( \epsilon^3 \right)^c \cdot \epsilon^2=1+ \epsilon +\epsilon^2=0}\)
co kończy dowód.
Q.
Niech \(\displaystyle{ \epsilon}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\). Oznacza to w szczególności, że:
\(\displaystyle{ \epsilon^2+\epsilon +1=0}\)
Po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ \epsilon -1}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \epsilon^3-1=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \epsilon^3=1}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ W(\epsilon )= \epsilon^{3a}+\epsilon^{3b+1}+\epsilon^{3c+2}=
\left( \epsilon^3 \right)^a +\left( \epsilon^3 \right)^b \cdot \epsilon +\left( \epsilon^3 \right)^c \cdot \epsilon^2=1+ \epsilon +\epsilon^2=0}\)
co kończy dowód.
Q.