W jaki sposób wykazać, że
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)(1-\epsilon^2)...(1-\epsilon^{n-1})=n}\),
gdzie \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki?
Pierwiastek z jedności
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Pierwiastek z jedności
Zauważ, że
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)(1-\epsilon^2)...(1-\epsilon^{n-1}) =
1 + \epsilon^{n} + \epsilon^{2n} + ... + \epsilon^{(n-2)n} - \epsilon - \epsilon^{2} - ... - \epsilon^{n-1} = 1 + (n-2)*\epsilon^{n} - (\epsilon + \epsilon^{2}+ ... + \epsilon^{n-1})
= 1 + (n-2)*1 - (-1) = 1 + n - 2 + 1 = n}\).
Żeby otrzymać pierwszą równość, to trzeba po prostu powymnażać wszystkie nawiasy. To najbardziej żmudne w tym zadaniu. Potem korzysta się z tego, że \(\displaystyle{ \epsilon^{kn} = \epsilon^{n} = 1}\) i z tego, że \(\displaystyle{ \epsilon + \epsilon^{2} + ... + \epsilon^{n-1} = -1}\).
\(\displaystyle{ (1-\epsilon)(1-\epsilon^2)...(1-\epsilon^{n-1}) =
1 + \epsilon^{n} + \epsilon^{2n} + ... + \epsilon^{(n-2)n} - \epsilon - \epsilon^{2} - ... - \epsilon^{n-1} = 1 + (n-2)*\epsilon^{n} - (\epsilon + \epsilon^{2}+ ... + \epsilon^{n-1})
= 1 + (n-2)*1 - (-1) = 1 + n - 2 + 1 = n}\).
Żeby otrzymać pierwszą równość, to trzeba po prostu powymnażać wszystkie nawiasy. To najbardziej żmudne w tym zadaniu. Potem korzysta się z tego, że \(\displaystyle{ \epsilon^{kn} = \epsilon^{n} = 1}\) i z tego, że \(\displaystyle{ \epsilon + \epsilon^{2} + ... + \epsilon^{n-1} = -1}\).
Pierwiastek z jedności
Czy mogę prosić o trochę szersze wyjaśnienie, jak zabrać się (w miarę sprytnie) do tego mnożenia?Tomasz Tkaczyk pisze:Żeby otrzymać pierwszą równość, to trzeba po prostu powymnażać wszystkie nawiasy.