Równanie trzeciego stopnia

[Kowal1990]

Witam,

czy następujące równanie:

\(\displaystyle{ z^{3}=(iz+1)^{3}}\)

można rozwiązać w następujący sposób?

\(\displaystyle{ (x+iy)^{3}=(i(x+iy)+1)^{3}\\
(x+iy)=(ix-y+1)}\)

a potem uporządkować, porównać Re i Im i uzyskać wynik czyli

\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i}\)

Wydaje mi się, że coś tu jest nie tak w moim rozwiązaniu, ale jak zacząłem rozwijać to wszystko do 3 potęgi, to wpakowałem się w karkołomne liczenie...

Pozdrawiam

[Qń]

Nie możesz po prostu pozbyć się trzeciej potęgi, w liczbach zespolonych to niedozwolone. Przenieś wszystko na jedną stronę i skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\), wtedy otrzymasz jedno rozwiązanie, które już podałeś i dwa nowe, będące rozwiązaniem równania kwadratowego.

Q.

[Kowal1990]

No właśnie też mi się wydawało, że tak nie można, ale jak już wspomniałem - podniesienie wszystkiego do 3 potęgi baaardzo utrudniało pracę i na dodatek do niczego nie doszedłem.

Dziękuję za pomoc