Obliczyć pierwiastek oraz zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie

[senio]

Witam, mam problem z rozwiązaniem następujących zadań:
a) Obliczyć: \(\displaystyle{ \sqrt[6]{ \frac{ \sqrt{3}-i }{i-1} }}\)
b) Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory: \(\displaystyle{ \left\{ z \in C: \left| \frac{8i-6}{z-2i} \right| \ge 5 \ \wedge \ \frac{\pi}{2} \le Arg( z^{2}) \le \pi \right\}}\)

a) W rozwiązaniu chciałem wykorzystać wzór na pierwiastki stopnia n, upraszczam sobie liczbe podpierwiastkową mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie:
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{ \frac{ ( \sqrt{3}-i)(i+1) }{(i-1)(i+1)} }}\)
w sumie wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{ \frac{1-\sqrt{3}}{-2} + \frac{(1+\sqrt{3})i}{-2}}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{15} + \sqrt{5} }{5}}\) - nie przeliczę tego łatwo na kąt więc albo coś źle licze albo to innym sposobem

b) Rozpatruję pierwsze wyrażenie. Podstawiam za \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left| 8i-6\right| }{\left| x+(y-2)i\right| } \ge 5}\)

obliczam moduły

\(\displaystyle{ \frac{10}{ \sqrt{ x^{2}+ (y-2)^{2} } } \ge 5}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ (y-2)^{2} } \ge 2}\) (chyba mogę tak zrobić bo mnoże przez pierwiastek a on jest zawsze dodatni)
\(\displaystyle{ x^{2}+ (y-2)^{2} \ge 4}\)

wychodzi okrąg o wsp.

\(\displaystyle{ S(0,2), r=2}\)

teraz drugie wyrażenie, korzystam \(\displaystyle{ z^{n} =nArgz+2k \pi}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ \frac{ \pi}{4}-k \pi \le Argz \le \frac{\pi}{2} - k\pi}\)

i właśnie co teraz jak rozważyć to k i co to wyjdzie na płaszczyźnie ?
Proszę o pomoc

[Afish]

1. Zamień licznik i mianownik na postać trygonometryczną, potem to podziel (czyli podziel moduły i odejmij kąty), a potem oblicz pierwiastki.

[senio]

Dzięki za odpowiedź
Wyszło mi 6 pierwiastków:
\(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[12]{2} \left( cos \frac{13 \pi}{72}+isin \frac{13 \pi}{72} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[12]{2} \left( cos \frac{37 \pi}{72}+isin \frac{37 \pi}{72} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \sqrt[12]{2} \left( cos \frac{61 \pi}{72}+isin \frac{61 \pi}{72} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{3}= \sqrt[12]{2} \left( cos \frac{85 \pi}{72}+isin \frac{85 \pi}{72} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{4}= \sqrt[12]{2} \left( cos \frac{109 \pi}{72}+isin \frac{109 \pi}{72} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{5}= \sqrt[12]{2} \left( cos \frac{133 \pi}{72}+isin \frac{133 \pi}{72} \right)}\)
Mam zostawić w takiej postaci czy coś jest nie tak, ponieważ nie da się łatwo wyliczyć wartości funkcji trygonom. ?
Byłbym również wdzięczny za podpowiedź do b)

Pozdrawiam

[Afish]

Jeżeli nie masz w treści zadania podane, aby przedstawić liczby w postaci algebraicznej, to chyba nie ma sensu kombinować. Oczywiście zakładając, że dobrze policzyłeś (nie chce mi się sprawdzać)