Znajdywanie wszystkich pierwiastków równań

[Pawelck91]

\(\displaystyle{ x^{4}-i=0 \\x^{5}-1024=0 \\ x^{4}+4=0 \\ x^{3}+8=0}\)
Jeżeli to możliwe to prosiłbym o jakąś wskazówkę przy rozwiązywaniu tego typu równań. Domyślam się, że trzeba coś kombinować z \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\), zgadza się ?

[Afish]

Przenieś wyraz wolny na prawą stronę, przedstaw w postaci trygonometrycznej i użyj wzoru de Moivre'a.

[Pawelck91]

Przenieś wyraz wolny na prawą stronę, przedstaw w postaci trygonometrycznej i użyj wzoru de Moivre'a.

Czyli przykład pierwszy powinien być tak rozwiązany ? :
\(\displaystyle{ x^{4}-i=0\\x^{4}=i\\x=0\\y=1\\\left| x\right|= \sqrt{1}=1\\sin\phi=1\\cos\phi=0\\\phi= \frac{\pi}{2}\\x _{1}=1(cos \frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})=i\\x_{2}=1(cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})+isin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=-1\\x_{3}=cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2}=-i\\x_{4}=cos2\pi+isin\2\pi=1}\)
Czy to o to chodziło ?

[Afish]

Prawie. Musisz jeszcze podzielić odpowiednio kąt. Zerknij tutaj:
https://matematyka.pl/206126.htm

[Pawelck91]

Prawie. Musisz jeszcze podzielić odpowiednio kąt. Zerknij tutaj:
https://matematyka.pl/206126.htm

No ale jak podzielę w tym wypadku przez \(\displaystyle{ 4}\) to kąt wyjdzie\(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}+ k\frac{\pi}{2}}\). Załóżmy dla \(\displaystyle{ k=0}\) kąt będzie wynosić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\). Czyli dla jakiego kąta dokładnie taka wartość istnieje ? Podam, że w odpowiedzi jest dla pierwszego pierwiastka:
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{1}{2}\sqrt{2+\frac{1}{2}\sqrt{2}}+\frac{1}{2}i\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)

[Afish]

Jak już znajdziesz odpowiedni kąt, to już możesz odpuścić sobie podawanie dokładnych wartości sinusa i kosinusa tegoż. Chyba że w treści zadania masz wyraźnie napisane, aby przedstawić liczbę w postaci algebraicznej. Z resztą dla większości kątów nie jesteś w stanie podać dokładnej wartości funkcji trygonometrycznych, więc nie ma sobie co zawracać tym głowy. Akurat w tym przypadku łatwo jest policzyć \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{8})}\) korzystając z gotowych wzorów na sinus połowy kąta, ale zazwyczaj tak kolorowo nie jest.

[Pawelck91]

Ok już rozumiem . W którymś z następnych przykładów, które miałem wyliczyć pojawił się kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\). Masz rację kolorowo już nie było, skorzystałem z tej strony -> . I tu rodzi się pytanie, w takich "ekstremalnych" kątach muszę znać te wszystkie przeliczenia dla tego kąta ? Czy może po prostu lepiej zostawić rozwiązanie w formie trygonometrycznej, a z algebraiczną dać sobie spokój ?

[Afish]

To już zależy od wykładowcy/ćwiczeniowca/nauczyciela/treści zadania. Jeżeli wymaga postaci algebraicznej, to nie ma zmiłuj - trzeba kombinować. Jeżeli nie wymaga, to można zostawić trygonometryczną. Oczywiście najlepiej jest podać obie, wtedy nikt już się nie doczepi, ale skoro postać trygonometryczna i algebraiczna są sobie równoważne, to nie ma co na siłę uszczęśliwiać wszystkich