Rownania kwadratowe

[dawidwychocki]

Witam Mam pytanie dotyczace licz zespolonych, a mianowicie jak wstawic pod pierwiastek
\(\displaystyle{ 3i^{2}-4i}\)

???

[kolorowe skarpetki]

Niech \(\displaystyle{ z=3i^2-4i=-3-4i}\). Pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) możesz obliczyć na dwa sposoby :

\(\displaystyle{ \textbf{I sposób}}\) : Wykorzystując wzór na pierwiastek stopnia n (w Twoim przypadku n=2) z liczby zespolonej.

\(\displaystyle{ \textbf{II sposób}}\) : Niech \(\displaystyle{ w=x+iy}\) będzie pierwiastkiem stopnia 2 z liczby \(\displaystyle{ z}\). Wtedy \(\displaystyle{ w^2=z}\). Podnieść liczbę \(\displaystyle{ w}\) do kwadratu, uporządkować do postaci kanonicznej i przyrównać liczby zespolone - odpowiednio części urojone i rzeczywiste. Rozwiązując układ otrzymujesz \(\displaystyle{ x,y}\), czyli tak naprawdę \(\displaystyle{ w}\) - a to jest pierwiastek z Twojej liczby.

[dawidwychocki]

Ale nie moge chyba zostawic liczne na minusie pod pierwiastkiem.
Na zajeciach nauczycielka pokazywala zeby włsanie jak jest np. -3-4i to za -3 podstawimy \(\displaystyle{ 3i ^{2}}\) i wtedy co dalej?

[kolorowe skarpetki]

Pytasz jak wziąć pierwiastek, to Ci powiedziałam (II sposoby). Liczysz pierwiastek z liczby zespolonej, a w zbiorze liczb zespolonych istnieją pierwiastki z liczb ujemnych, np. :

\(\displaystyle{ i^2=-1 \, , \, \sqrt{-1}=\sqrt{i^2}=i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-16}=\sqrt{16i^2}=4i}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\left| z\right| \left( \cos{\left( \frac{\varphi}{2} \right) }+i\sin{ \left( \frac{\varphi}{2}\right) }\right)}\)

Wykorzystując wzory na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego
oraz to że

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos{\varphi}= \frac{\Re{z}}{\left| z\right| } \\ \sin{\varphi}= \frac{\Im{z}}{\left| z\right| } \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\left| z\right| } \cdot \left( \sqrt{ \frac{1+ \frac{\Re{z}}{\left| z\right| } }{2} }+i\sqrt{ \frac{1- \frac{\Re{z}}{\left| z\right| } }{2} } \right) \\
\sqrt{\left| z\right| } \cdot \left( \sqrt{ \frac{\left| z\right|+\Re{z} }{2\left| z\right| } }+i\sqrt{ \frac{\left| z\right|-\Re{z} }{2\left| z\right| } \right)\\
\left( \sqrt{ \frac{\left| z\right|+\Re{z} }{2} }+i\sqrt{ \frac{\left| z\right|-\Re{z} }{2} \right)}\)

Znaki pierwiastków ustalasz na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych

W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus

[bum]

Ale nie moge chyba zostawic liczne na minusie pod pierwiastkiem.
Na zajeciach nauczycielka pokazywala zeby włsanie jak jest np. -3-4i to za -3 podstawimy \(\displaystyle{ 3i ^{2}}\) i wtedy co dalej?

NO właśnie w liczbach zespolonych możesz wstawiać liczbę ujemna pod pierwiastek ;]