Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

trzeba wyznaczyć zbiór punktów płaszczyzny zespolonej spełniających warunek:

a) \(\displaystyle{ 2Re(iz)= z^{2}}\)

b) \(\displaystyle{ Re (z-i)^{2} \ge 0}\)

proszę o pomoc

-- 30 paź 2010, o 17:26 --

chyba rozwiązałem przykład a, ale nie jestem pewien
mógłby ktoś to sprawdzić

\(\displaystyle{ 2Re(iz)=z ^{2}}\)

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)

\(\displaystyle{ 2Re[i(x+iy)]=z ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2Re(ix+i ^{2} y)=z ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2Re(ix-y)=z ^{2}}\)

\(\displaystyle{ -2y=z ^{2} / \sqrt{()}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-2y} = \sqrt{z ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-2y} =\left| z\right|}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-2y} = \sqrt{x ^{2} +y ^{2} } / () ^{2}}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +2y=0}\)

\(\displaystyle{ (x-0) ^{2} +(y+1) ^{2} =1}\)

wykresem będzie okrąg o środku S(0;-1) i promieniu r=1

-- 30 paź 2010, o 22:00 --

czy mógłby mi ktoś pomóc?
Ostatnio zmieniony 30 paź 2010, o 23:22 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

Jesteś pewien, ze ten pierwszy podpunkt miał tak wyglądać?
Damian91 pisze: \(\displaystyle{ -2y=z ^{2} / \sqrt{()}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-2y} = \sqrt{z ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-2y} =\left| z\right|}\)
Od tego momentu jest źle. Zapomnij w liczbach zespolonych o \(\displaystyle{ \sqrt{z^{2}}=|z|}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ -2y=z^{2}\\
-2y=(x+yi)^{2}\\
-2y=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)


Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy=0 \\ x^{2}-y^{2}=-2y \end{cases}}\)

Zastanów się teraz, co będzie, gdy \(\displaystyle{ x=0}\) oraz gdy \(\displaystyle{ y=0}\), i zadanie rozwiązane.
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

a ten następny przykład?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

Jeżeli kwadrat się odnosi do liczby, której część rzeczywistą liczymy, to:
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\).
\(\displaystyle{ (z-i)^{2}=z^{2}-2zi-1=x^{2}-y^{2}+2xyi-2i(x+yi)-1=x^{2}-y^{2}+2xyi-2xi+2y-1= \\ =(x^{2}-y^{2}+2y-1)+i(2xy-2x)}\)

i otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}+2y-1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-(y-1)^{2} \ge 0}\)

Tu proponuję skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, a następnie rozważyć dwa przypadki (kiedy iloczyn dwóch liczb jest większy bądź równy zeru?)
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

zile rozwiązałeś ten ostatni przykład
finalnie wychodzi
\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +2y-1 \ge 0}\)
sprawdź jeszcze sobie
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}+2y-1 \ge 0}\) jest dobrze, sprawdzałem w programie matematycznym. Jeśli dalej wychodzi Ci inaczej, to może pokaż obliczenia.
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

faktycznie masz racje to ja się walnąłem w obliczeniach
\(\displaystyle{ (z-i) ^{2} =z ^{2}-2zi+i ^{2} = (x+iy) ^{2} -2i(x+iy)-1=x ^{2}+2iyx+i ^{2}y ^{2} -2xi-2i ^{2}y-1=x ^{2}-y ^{2}+2y-1+i(2yx-2x)}\)

finalnie częścią rzeczywistą będzie \(\displaystyle{ x ^{2}-y ^{2} +2y-1}\)
Ostatnio zmieniony 1 lis 2010, o 16:27 przez Damian91, łącznie zmieniany 1 raz.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

No OK, tylko skąd się wzięło \(\displaystyle{ x-yi}\) po drugim znaku równości? Powinien być plus.

Teraz zastosuj się do tej wskazówki ze wzorem skróconego mnożenia i zadanie prawie rozwiązane.
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

masz na myśli to?

\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}+2y-1 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} -(y ^{2} -2y+1) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} -(y-1) ^{2} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ [x-(y-1)] \cdot [x+(y-1)] \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (x-y+1)(x+y-1) \ge 0}\)

ale co dalej?

chyba ten 2 nawias będzie dodatni więc można przez niego podzielić całe równanie
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

Kiedy iloczyn dwóch liczb jest równy zeru? A kiedy iloczyn dwóch liczb jest dodatni?
Damian91 pisze: chyba ten 2 nawias będzie dodatni więc można przez niego podzielić całe równanie
ta, np. dla \(\displaystyle{ x=0,y=0}\).
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

iloczyn dwóch liczb jest równy zero kiedy jedna z nich jest równa zero
iloczyn dwóch liczb jest dodatni kiedy obie mają taki sam znak

_______________________________________________________________

w 1 przypadku x-y+1=0, więc rysujemy wykres y+x+1 i zakreślamy to co powyżej
w 2 przypadku x+y-1=0, więc rysujemy wykres y=-x+1 i zakreślamy to co powyżej
czy tak?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

\(\displaystyle{ (x-y+1)(x+y-1) \ge 0 \Leftrightarrow \\
\left[ \left( x-y+1 \right) \left( x+y-1 \right) > 0 \right] \vee \left[ \left( x-y+1 \right) \left( x+y-1 \right) =0 \right] \Leftrightarrow \\
\left[x-y+1>0 \wedge x+y-1>0\right] \vee \left[x-y+1<0 \wedge x+y-1<0\right] \vee \left[x-y+1=0\right]\vee \left[x+y-1=0\right]}\)


Mam nadzieję, że jest to czytelne. Mamy cztery przypadki, dwa ostatnie wyznaczają proste, dwa pierwsze - kąty.
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

dobra już chyba kapuje o co biega

1 przypadek )\(\displaystyle{ y \ge -x+1 \wedge y<x+1}\)

2 przypadek) \(\displaystyle{ y>-x+1 \wedge y \le x+1}\)

3 przypadek) \(\displaystyle{ y \le -x+1 \wedge y>x+1}\)

4 przypadek) \(\displaystyle{ y<-x+1 \wedge y \ge x+1}\)

i każdy przypadek wyznaczamy na osobnym wykresie

proszę o komentarz
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Crizz »

Jest prawie OK.

Przypadki 1. i 2. oraz przypadki 3. i 4. wyjdą prawie tak samo, wygodniej będzie rozważyć przypadki:
\(\displaystyle{ y > -x+1 \wedge y<x+1\\
y < -x+1 \wedge y>x+1}\)

czyli na razie pomijamy to, że mamy nieostre nierówności, a dodatkowo rozważamy przypadki:
\(\displaystyle{ y = -x+1\\
y=x+1}\)


Każdy z tych przypadków zaznaczasz na tym samym wykresie (wszystko to, co zaznaczysz w dowolnym z tych przypadków, jest częścią rozwiązania).

Ostatecznie powinno Ci wyjść takie coś:



Uploaded with
Awatar użytkownika
Damian91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2009, o 21:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznaczanie zbioru na płaszczyźnie, cz. rzeczywista

Post autor: Damian91 »

dobra rozumiem, ale zaznaczając te moje przypadki na wykresie otrzymałbym to samo tak?
ODPOWIEDZ