Zaleźć sumę

[yoana91]

Mam znaleźć sumę takiego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \cos x + \frac{\cos (2x)}{2} + \frac{\cos (3x)}{2 ^{2} } + ... + \frac{\cos (nx)}{2 ^{n-1} } + ...}\)

Ustaliłam, że mogę to zapisać w ten sposób:

\(\displaystyle{ Re \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{e ^{ixk} }{2 ^{k-1} }}\)

Jednak nie wiem jak to dalej rozpisać.

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{e ^{ixk} }{2 ^{k-1} }=
2\sum_{k=1}^{ \infty } \left( \frac{e ^{ix}}{2}\right)^k}\)

Ten napis to suma nieskończonego ciągu geometrycznego, wyraża się więc wzorem \(\displaystyle{ \frac{a_1}{1-q}}\). Całe wyrażenie jest więc równe:
\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{\frac{e^{ix}}{2}}{1-\frac{e^{ix}}{2}}}\)

Pozostaje teraz to uporządkować i wyznaczyć część rzeczywistą.

Q.

[yoana91]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{e ^{ixk} }{2 ^{k-1} }=
2\sum_{k=1}^{ \infty } \left( \frac{e ^{ix}}{2}\right)^k}\)

Mógłbyś mi wytłumaczyć to przekształcenie?

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{e ^{ixk} }{2 ^{k-1} }=2 \cdot \frac{e ^{ixk} }{2 ^{k} }= 2\cdot \left( \frac{e ^{ix}}{2}\right)^k}\)


Q.

[yoana91]

Podstawiłam w ten sposób:

\(\displaystyle{ Re(2\cdot \frac{\frac{e^{ix}}{2}}{1-\frac{e^{ix}}{2}})=Re( \frac{e ^{ix} }{1- \frac{e ^{ix} }{2} } )=Re( \frac{\cos x + i\sin x}{1- \frac{\cos x + i\sin x}{2} } )=Re( \frac{2\cos x+2i\sin x}{2-\cos x-i\sin x} )}\)

czy część rzeczywista to będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{2\cos x}{2-\cos x}}\) ?

[Nakahed90]

Pomnóż przez sprzężenie mianownika i dopiero wtedy wyznacz cześć rzeczywistą.

[yoana91]

\(\displaystyle{ Re( \frac{2\cos x+2i\sin x}{2-\cos x-i\sin x} ) \cdot \frac{2-\cos x+i\sin x}{2-\cos x+i\sin x} = Re ( \frac{4\cos x-2\cos ^{2} x-2\sin ^{2} x+ri\sin x}{(2-\cos x) ^{2} +\sin ^{2} x} )}\)

część rzeczywista to \(\displaystyle{ \frac{2(2\cos x-\cos ^{2}x-\sin ^{2} x )}{(2-\cos x) ^{2} +\sin ^{2} x}}\) ?

[Nakahed90]

Jest dobrze. Licznik za pomocą jedynki możesz jeszcze uprościć, mianownik zresztą też.

[yoana91]

\(\displaystyle{ \frac{4\cos x-2}{5-4\cos x}}\)

[Nakahed90]

Jest ok.