kilka zadań z liczb zespolonych, sprzężenia i potęgi

[adammus]

Prawie nic nie kumam z tych zadań i będę wdzięczny za rozwiązanie ich, wtedy je sobie przeanalizuje i jakoś się tego nauczę...

1. korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej, rozwiązać następujące równania:
a)
\(\displaystyle{ z^{6} = (\overline{z} )^{6}}\)
b)
\(\displaystyle{ 8z|\overline{z}| = (\overline{z})^{5}}\)

2. wyznacz wszystkie rozwiązania równania:
a)
\(\displaystyle{ z^{4} = -j}\)
b)
\(\displaystyle{ z^{4} = (1-j)^{8}}\)

3. Oblicz \(\displaystyle{ (5+4j)^{3}}\) i stąd wyznacz postać kanoniczną liczby \(\displaystyle{ (5-4j)^{3}}\)

4. Zauważ że \(\displaystyle{ 41 = 5^{2}+4^{2}=(5+4j)(5-4j)}\) a następnie przedstaw liczbę \(\displaystyle{ 41^{3}}\) jako sumę dwóch kwadratów

5. Pokazać że jeśli \(\displaystyle{ |z|=1}\) to \(\displaystyle{ \overline{z}= \frac{1}{z}}\)

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie 5 :}}\) Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ \vert z \vert =1}\), czyli że \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}=1}\),a to jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x-iy}{1}=x-iy=\overline{z}=L}\)