liczby zapisać w postaci kanonicznej

[cintrzyk]

Witam,

Mam problem z następującymi liczbami, a właściwie z ich dużymi potęgami...

1) \(\displaystyle{ \frac{ (j- \sqrt{3} )^{5}}{(1-j)^{2}}}\)

2) \(\displaystyle{ \left(\frac{ \sqrt{3}+j }{1-j}\right)^{12}}\)

3) \(\displaystyle{ \left( j+j \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3}-j } \right)^{18}}\)

Proszę o jakieś wskazówki jak za to się zabrać, z góry dziękuję

[shvedeq]

Zapisz te liczby w postaci \(\displaystyle{ |z|e^{i\phi}}\), podnieś do odpowiedniej potęgi i wynik zapisz w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\)

[cintrzyk]

a nie trzeba skorzystać ze wzoru de Moivre'a? bo ten zapis szczególnie "e" dla mnie mało znany.
Możesz jaśniej opisać?

[grower]

Noo ja też nie mogę tego ogarnąć... cintrzyk jaka grupa? ;]

[shvedeq]

\(\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos \phi + i \sin \phi}\); \(\displaystyle{ \phi}\) to argument liczby zespolonej.
Dla przykładu pokaże pierwszy punkt:
\(\displaystyle{ \frac{(i-\sqrt{3})^5}{(1-i)^2}=\frac{(\sqrt{4} e^{-i\frac{\pi}{3}} )^5}{(\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}})^2}=\frac{32 e^{-i\frac{5\pi}{3}}}{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}=16e^{-i\frac{2\pi}{3}}=16(\cos\frac{-2\pi}{3} + i\sin\frac{-2\pi}{3})}\)
Jeszcze tylko musisz sinus i cosinus wyliczyć

[grower]

Dalej nie mogę zrozumieć jak przeszedłeś do tego co jest po prawej stronie pierwszego znaku równości. Skąd te pierwiastki i takie potęgi??? \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

[shvedeq]

jaki jest moduł liczby \(\displaystyle{ i-\sqrt 3}\). Jaki jest jej argument?